内径 $d$ の円管内を水が流れる問題について、以下の3つのケースについてレイノルズ数を計算し、流れが層流であるか乱流であるかを判定します。 (1) 内径 $d = 30 \text{ mm}$ の円管内を水が1分間に $0.015 \text{ m}^3$ 流れる場合。 (2) (1)の流量が20%になった場合。 (3) (1)の流量で内径が $15 \text{ mm}$ の場合。 ただし、水の密度 $\rho_w = 1000 \text{ kg/m}^3$、粘性係数 $\mu_w = 1.00 \times 10^{-3} \text{ Pa} \cdot \text{s}$ とし、代表速度は円管断面での平均流速、臨界レイノルズ数はレイノルズの実験の際の値（$Re = 2300$）を用いることとします。

1. 問題の内容

内径 $d$ の円管内を水が流れる問題について、以下の3つのケースについてレイノルズ数を計算し、流れが層流であるか乱流であるかを判定します。

(1) 内径 $d = 30 \text{ mm}$ の円管内を水が1分間に $0.015 \text{ m}^3$ 流れる場合。

(2) (1)の流量が20%になった場合。

(3) (1)の流量で内径が $15 \text{ mm}$ の場合。

ただし、水の密度 $\rho_w = 1000 \text{ kg/m}^3$、粘性係数 $\mu_w = 1.00 \times 10^{-3} \text{ Pa} \cdot \text{s}$ とし、代表速度は円管断面での平均流速、臨界レイノルズ数はレイノルズの実験の際の値（$Re = 2300$）を用いることとします。

2. 解き方の手順

レイノルズ数 $Re$ は以下の式で計算されます。

$Re = \frac{\rho V d}{\mu}$

ここで、$\rho$ は流体の密度、$V$ は代表速度、$d$ は代表長さ（円管の場合は内径）、$\mu$ は流体の粘性係数です。

平均流速 $V$ は、流量 $Q$ と断面積 $A$ を用いて $V = \frac{Q}{A}$ で計算できます。円管の断面積は $A = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ です。

したがって、$V = \frac{4Q}{\pi d^2}$ となります。

上記の式を用いて、各ケースについてレイノルズ数を計算し、臨界レイノルズ数 $Re = 2300$ と比較することで、流れが層流であるか乱流であるかを判断します。$Re < 2300$ ならば層流、$Re > 2300$ ならば乱流です。

(1) 内径 $d = 30 \text{ mm} = 0.03 \text{ m}$、流量 $Q = 0.015 \text{ m}^3/\text{min} = \frac{0.015}{60} \text{ m}^3/\text{s} = 2.5 \times 10^{-4} \text{ m}^3/\text{s}$ の場合。

$V = \frac{4Q}{\pi d^2} = \frac{4 \times 2.5 \times 10^{-4}}{\pi \times (0.03)^2} = \frac{10^{-3}}{\pi \times 9 \times 10^{-4}} = \frac{10}{9\pi} \approx 0.354 \text{ m/s}$

$Re = \frac{\rho V d}{\mu} = \frac{1000 \times 0.354 \times 0.03}{1.00 \times 10^{-3}} = 1000 \times 0.354 \times 30 = 10620$

$Re > 2300$ より、乱流です。

(2) 流量が20%になった場合。流量 $Q' = 0.2 \times Q = 0.2 \times 2.5 \times 10^{-4} \text{ m}^3/\text{s} = 5 \times 10^{-5} \text{ m}^3/\text{s}$.

$V' = \frac{4Q'}{\pi d^2} = \frac{4 \times 5 \times 10^{-5}}{\pi \times (0.03)^2} = \frac{2 \times 10^{-4}}{\pi \times 9 \times 10^{-4}} = \frac{2}{9\pi} \approx 0.0707 \text{ m/s}$

$Re' = \frac{\rho V' d}{\mu} = \frac{1000 \times 0.0707 \times 0.03}{1.00 \times 10^{-3}} = 1000 \times 0.0707 \times 30 = 2121$

$Re' < 2300$ より、層流です。

(3) 内径 $d = 15 \text{ mm} = 0.015 \text{ m}$、流量 $Q = 2.5 \times 10^{-4} \text{ m}^3/\text{s}$ の場合。

$V = \frac{4Q}{\pi d^2} = \frac{4 \times 2.5 \times 10^{-4}}{\pi \times (0.015)^2} = \frac{10^{-3}}{\pi \times 2.25 \times 10^{-4}} = \frac{100}{2.25\pi} = \frac{400}{9\pi} \approx 14.15 \text{ m/s}$

$Re = \frac{\rho V d}{\mu} = \frac{1000 \times 1.415 \times 0.015}{1.00 \times 10^{-3}} = 1000 \times 1.415 \times 15 = 21225$

$Re > 2300$ より、乱流です。

3. 最終的な答え

(1) 乱流

(2) 層流

(3) 乱流