以下の2つの関数 $f(x,y)$ について、与えられた点での関数の値を求め、等高線 $f(x,y) = 6$ を描く。 1) $f(x,y) = x^{2/3}y^{1/3}$ 2) $f(x,y) = \min\{2x, 3y\}$ (a) $(x,y) = (1,2)$ における $f(x,y)$ の値を求める。 (b) 等高線 $f(x,y) = 6$ を描く。ただし、1)については等高線が通る格子点を図示し、2)については等高線が屈曲する点を図示する。

1. 問題の内容

以下の2つの関数 $f(x,y)$ について、与えられた点での関数の値を求め、等高線 $f(x,y) = 6$ を描く。

1) $f(x,y) = x^{2/3}y^{1/3}$

2) $f(x,y) = \min\{2x, 3y\}$

(a) $(x,y) = (1,2)$ における $f(x,y)$ の値を求める。

(b) 等高線 $f(x,y) = 6$ を描く。ただし、1)については等高線が通る格子点を図示し、2)については等高線が屈曲する点を図示する。

2. 解き方の手順

1) $f(x,y) = x^{2/3}y^{1/3}$ について

(a) $(x,y) = (1,2)$ を代入する。

$f(1,2) = 1^{2/3} \cdot 2^{1/3} = 1 \cdot 2^{1/3} = \sqrt[3]{2}$

(b) 等高線 $f(x,y) = 6$ を求める。

$x^{2/3}y^{1/3} = 6$

両辺を3乗して、

$(x^{2/3}y^{1/3})^3 = 6^3$

$x^2y = 216$

$y = \frac{216}{x^2}$

格子点を通る点を探す。例えば、$x=1$のとき、$y=216$、$x=2$のとき、$y=54$、$x=3$のとき、$y=24$、$x=6$のとき、$y=6$。

2) $f(x,y) = \min\{2x, 3y\}$ について

(a) $(x,y) = (1,2)$ を代入する。

$f(1,2) = \min\{2(1), 3(2)\} = \min\{2, 6\} = 2$

(b) 等高線 $f(x,y) = 6$ を求める。

$\min\{2x, 3y\} = 6$

場合分けを行う。

(i) $2x \le 3y$ のとき、

$2x = 6$

$x = 3$

このとき、$2(3) \le 3y$ より、$6 \le 3y$, $y \ge 2$

(ii) $2x > 3y$ のとき、

$3y = 6$

$y = 2$

このとき、$2x > 3(2)$ より、$2x > 6$, $x > 3$

したがって、等高線は、$x=3$ ($y \ge 2$) と $y=2$ ($x > 3$) で表される。

この等高線は $(3,2)$ で屈曲する。

3. 最終的な答え

1)

(a) $f(1,2) = \sqrt[3]{2}$

(b) $y = \frac{216}{x^2}$。格子点 (1, 216), (2, 54), (3, 24), (6, 6)などを図示する。

2)

(a) $f(1,2) = 2$

(b) $x=3$ ($y \ge 2$) と $y=2$ ($x > 3$)。屈曲点 (3, 2) を図示する。