自然長 $l_0$、ばね定数 $k$ のばねに質量 $m$ のおもりを吊るし、ばねの上端を $a \cos(\omega_0 t)$ で振動させたときのおもりの運動方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

自然長 $l_0$、ばね定数 $k$ のばねに質量 $m$ のおもりを吊るし、ばねの上端を $a \cos(\omega_0 t)$ で振動させたときのおもりの運動方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) おもりの位置を $x(t)$ とする。ただし、$x(t)$ はつり合いの位置からの変位とする。

(2) ばねの伸びは、$x(t) - a \cos(\omega_0 t)$ である。

(3) おもりに働く力は、重力 $mg$、ばねの弾性力 $-k(x(t) - a \cos(\omega_0 t))$ である。

(4) ニュートンの運動方程式より、$ma = F$ であるから、

$m \frac{d^2x}{dt^2} = -k(x(t) - a \cos(\omega_0 t)) - mg$

(5) つり合いの位置からの変位 $x(t)$ を考えるので、$mg$ は考慮する必要がない。したがって、

$m \frac{d^2x}{dt^2} = -k(x(t) - a \cos(\omega_0 t))$

(6) 式を整理すると、

$m \frac{d^2x}{dt^2} + kx(t) = ka \cos(\omega_0 t)$

または

$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x(t) = \frac{ka}{m} \cos(\omega_0 t)$

3. 最終的な答え

おもりの運動方程式は

$m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = ka \cos(\omega_0 t)$

または

$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = \frac{ka}{m} \cos(\omega_0 t)$