2次関数 $y = x^2 + ax - 1$ のグラフが点 $(5, 4)$ を通るとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 定数 $a$ の値を求めよ。 (2) 2次関数のグラフの頂点の座標を求めよ。 (3) $-1 \le x \le 6$ における2次関数の最大値と最小値の差を求めよ。 (4) $k$ は正の定数とするとき、 $-1 \le x \le k$ における2次関数の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + ax - 1$ のグラフが点 $(5, 4)$ を通るとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 定数 $a$ の値を求めよ。

(2) 2次関数のグラフの頂点の座標を求めよ。

(3) $-1 \le x \le 6$ における2次関数の最大値と最小値の差を求めよ。

(4) $k$ は正の定数とするとき、 $-1 \le x \le k$ における2次関数の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の値を求める

グラフが点 $(5, 4)$ を通るので、$x = 5$, $y = 4$ を代入すると、

$4 = 5^2 + 5a - 1$

$4 = 25 + 5a - 1$

$4 = 24 + 5a$

$5a = -20$

$a = -4$

(2) 頂点の座標を求める

$a = -4$ なので、$y = x^2 - 4x - 1$ となります。

平方完成すると、

$y = (x^2 - 4x) - 1$

$y = (x^2 - 4x + 4 - 4) - 1$

$y = (x - 2)^2 - 4 - 1$

$y = (x - 2)^2 - 5$

したがって、頂点の座標は $(2, -5)$ です。

(3) 最大値と最小値の差を求める

$-1 \le x \le 6$ の範囲における $y = (x - 2)^2 - 5$ の最大値と最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標は $x = 2$ で、範囲内に含まれています。したがって、最小値は $x = 2$ のとき $y = -5$ となります。

次に最大値を求めます。$x = -1$ のとき $y = (-1 - 2)^2 - 5 = 9 - 5 = 4$

$x = 6$ のとき $y = (6 - 2)^2 - 5 = 16 - 5 = 11$

したがって、最大値は $x = 6$ のときの $y = 11$ となります。

最大値と最小値の差は $11 - (-5) = 11 + 5 = 16$ です。

(4) 最大値を求める

$-1 \le x \le k$ における $y = (x - 2)^2 - 5$ の最大値を求めます。ただし、$k > 0$ です。

頂点の $x$ 座標は $x = 2$ です。

$k$ の値によって場合分けをします。

(i) $0 < k < 2$ のとき

$-1 \le x \le k$ の範囲で $x$ が増加すると $y$ は単調減少するので、$x = -1$ のとき最大値をとります。

$x = -1$ のとき $y = (-1 - 2)^2 - 5 = 4$

(ii) $k = 2$ のとき

$x=-1$のとき $y=4$

$x=2$のとき $y=-5$

$x=-1$のとき最大となるので$y=4$

(iii) $k > 2$ のとき

$x = k$ と $x = -1$ のときの $y$ の値を比較します。

$x = -1$ のとき $y = 4$

$x = k$ のとき $y = (k - 2)^2 - 5 = k^2 - 4k + 4 - 5 = k^2 - 4k - 1$

$k^2 - 4k - 1 > 4$ を解くと、

$k^2 - 4k - 5 > 0$

$(k - 5)(k + 1) > 0$

$k < -1$ または $k > 5$

したがって、

$2 < k \le 5$ のとき、最大値は $4$ ($x = -1$)

$k > 5$ のとき、最大値は $k^2 - 4k - 1$ ($x = k$)

まとめると、

$0 < k \le 5$ のとき、最大値は $4$

$k > 5$ のとき、最大値は $k^2 - 4k - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = -4$

(2) $(2, -5)$

(3) $16$

(4) $0 < k \le 5$ のとき、最大値は $4$

　　$k > 5$ のとき、最大値は $k^2 - 4k - 1$