2x2の回転行列 $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ と2x2の鏡映行列 $S(\varphi) = \begin{pmatrix} \cos2\varphi & \sin2\varphi \\ \sin2\varphi & -\cos2\varphi \end{pmatrix}$ に対して、以下の等式を示す問題です。 (1) $R(\theta)S(\varphi) = S(\varphi + \frac{\theta}{2})$ (2) $S(\varphi)R(\theta) = S(\varphi - \frac{\theta}{2})$

1. 問題の内容

2x2の回転行列 $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ と2x2の鏡映行列 $S(\varphi) = \begin{pmatrix} \cos2\varphi & \sin2\varphi \\ \sin2\varphi & -\cos2\varphi \end{pmatrix}$ に対して、以下の等式を示す問題です。

(1) $R(\theta)S(\varphi) = S(\varphi + \frac{\theta}{2})$

(2) $S(\varphi)R(\theta) = S(\varphi - \frac{\theta}{2})$

2. 解き方の手順

(1) $R(\theta)S(\varphi)$を計算し、$S(\varphi + \frac{\theta}{2})$と一致することを示します。

$R(\theta)S(\varphi) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos2\varphi & \sin2\varphi \\ \sin2\varphi & -\cos2\varphi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta\cos2\varphi - \sin\theta\sin2\varphi & \cos\theta\sin2\varphi + \sin\theta\cos2\varphi \\ \sin\theta\cos2\varphi + \cos\theta\sin2\varphi & \sin\theta\sin2\varphi - \cos\theta\cos2\varphi \end{pmatrix}$

三角関数の加法定理より、

$R(\theta)S(\varphi) = \begin{pmatrix} \cos(2\varphi+\theta) & \sin(2\varphi+\theta) \\ \sin(2\varphi+\theta) & -\cos(2\varphi+\theta) \end{pmatrix}$

一方、$S(\varphi + \frac{\theta}{2}) = \begin{pmatrix} \cos(2(\varphi + \frac{\theta}{2})) & \sin(2(\varphi + \frac{\theta}{2})) \\ \sin(2(\varphi + \frac{\theta}{2})) & -\cos(2(\varphi + \frac{\theta}{2})) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(2\varphi + \theta) & \sin(2\varphi + \theta) \\ \sin(2\varphi + \theta) & -\cos(2\varphi + \theta) \end{pmatrix}$

したがって、$R(\theta)S(\varphi) = S(\varphi + \frac{\theta}{2})$ が成り立ちます。

(2) $S(\varphi)R(\theta)$を計算し、$S(\varphi - \frac{\theta}{2})$と一致することを示します。

$S(\varphi)R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos2\varphi & \sin2\varphi \\ \sin2\varphi & -\cos2\varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos2\varphi\cos\theta + \sin2\varphi\sin\theta & -\cos2\varphi\sin\theta + \sin2\varphi\cos\theta \\ \sin2\varphi\cos\theta - \cos2\varphi\sin\theta & -\sin2\varphi\sin\theta - \cos2\varphi\cos\theta \end{pmatrix}$

三角関数の加法定理より、

$S(\varphi)R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(2\varphi-\theta) & \sin(2\varphi-\theta) \\ \sin(2\varphi-\theta) & -\cos(2\varphi-\theta) \end{pmatrix}$

一方、$S(\varphi - \frac{\theta}{2}) = \begin{pmatrix} \cos(2(\varphi - \frac{\theta}{2})) & \sin(2(\varphi - \frac{\theta}{2})) \\ \sin(2(\varphi - \frac{\theta}{2})) & -\cos(2(\varphi - \frac{\theta}{2})) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(2\varphi - \theta) & \sin(2\varphi - \theta) \\ \sin(2\varphi - \theta) & -\cos(2\varphi - \theta) \end{pmatrix}$

したがって、$S(\varphi)R(\theta) = S(\varphi - \frac{\theta}{2})$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $R(\theta)S(\varphi) = S(\varphi + \frac{\theta}{2})$

(2) $S(\varphi)R(\theta) = S(\varphi - \frac{\theta}{2})$