白玉3個と黒玉2個が入っている袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出す。このとき、白玉の出る回数を $X$ とするとき、$X$ の標準偏差を求める問題。

1. 問題の内容

白玉3個と黒玉2個が入っている袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出す。このとき、白玉の出る回数を $X$ とするとき、$X$ の標準偏差を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の確率分布を求める。$X$ は白玉の出る回数なので、$X = 0, 1, 2$ のいずれかの値をとる。

* $X = 0$ (2回とも黒玉) の確率:

1回目に黒玉を引く確率は $\frac{2}{5}$。

1回目に黒玉を引いた後、2回目に黒玉を引く確率は $\frac{1}{4}$。

よって、$P(X=0) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$。

* $X = 1$ (1回白玉、1回黒玉 または 1回黒玉、1回白玉) の確率:

1回目に白玉を引いて2回目に黒玉を引く確率は $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$。

1回目に黒玉を引いて2回目に白玉を引く確率は $\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$。

よって、$P(X=1) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。

* $X = 2$ (2回とも白玉) の確率:

1回目に白玉を引く確率は $\frac{3}{5}$。

1回目に白玉を引いた後、2回目に白玉を引く確率は $\frac{2}{4}$。

よって、$P(X=2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$。

次に、$X$ の期待値 $E(X)$ を求める。

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10} = 0 + \frac{6}{10} + \frac{6}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

次に、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$ を求める。

$E(X^2) = 0^2 \times P(X=0) + 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 4 \times \frac{3}{10} = 0 + \frac{6}{10} + \frac{12}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

次に、$X$ の分散 $V(X)$ を求める。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{9}{5} - (\frac{6}{5})^2 = \frac{9}{5} - \frac{36}{25} = \frac{45}{25} - \frac{36}{25} = \frac{9}{25}$

最後に、$X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を求める。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5}$