$a > 1$, $b > 1$, $c > 1$のとき、不等式 $\sqrt{a+b+c-2} < \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - 2$ を証明せよ。

1. 問題の内容

$a > 1$, $b > 1$, $c > 1$のとき、不等式 $\sqrt{a+b+c-2} < \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - 2$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、両辺を2乗することを考えます。

$f(a,b,c) = \sqrt{a+b+c-2}$

$g(a,b,c) = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - 2$

とおきます。

$a > 1, b > 1, c > 1$ なので、

$a+b+c-2 > 0$

$\sqrt{a} > 1, \sqrt{b} > 1, \sqrt{c} > 1$ なので、

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-2 > 1 > 0$

したがって、両辺とも正であるので、両辺を2乗しても同値です。

$(\sqrt{a+b+c-2})^2 < (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - 2)^2$

$a+b+c-2 < (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2 - 4(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) + 4$

$a+b+c-2 < a + b + c + 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{bc} + 2\sqrt{ca} - 4(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) + 4$

$0 < 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{bc} + 2\sqrt{ca} - 4\sqrt{a} - 4\sqrt{b} - 4\sqrt{c} + 6$

$0 < \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} - 2\sqrt{a} - 2\sqrt{b} - 2\sqrt{c} + 3$

$2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 2\sqrt{c} - 3 < \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$

ここで、$a > 1, b > 1, c > 1$ なので、

$(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1) > 0 \implies \sqrt{ab} > \sqrt{a} + \sqrt{b} - 1$

$(\sqrt{b}-1)(\sqrt{c}-1) > 0 \implies \sqrt{bc} > \sqrt{b} + \sqrt{c} - 1$

$(\sqrt{c}-1)(\sqrt{a}-1) > 0 \implies \sqrt{ca} > \sqrt{c} + \sqrt{a} - 1$

これらの不等式を辺々加えると

$\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} > 2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 2\sqrt{c} - 3$

したがって、不等式

$2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 2\sqrt{c} - 3 < \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$

が成立します。

3. 最終的な答え

$\sqrt{a+b+c-2} < \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - 2$