関数 $y = -x^2 + 6x + c$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が 1 となるように、定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 6x + c$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が 1 となるように、定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= -x^2 + 6x + c \\

&= -(x^2 - 6x) + c \\

&= -(x^2 - 6x + 9 - 9) + c \\

&= -(x - 3)^2 + 9 + c

\end{align*}

したがって、$y = -(x-3)^2 + 9 + c$ となります。

この関数のグラフは上に凸な放物線であり、軸は $x = 3$ です。

定義域は $1 \le x \le 4$ なので、軸 $x = 3$ は定義域に含まれます。

したがって、頂点 $x=3$ で最大値 $9+c$ を取ります。

次に、最小値を考えます。

$x = 3$ が定義域の中央にあるので、$x = 1$ と $x = 4$ のどちらかで最小値を取ります。

$x = 1$ のとき $y = -1^2 + 6(1) + c = -1 + 6 + c = 5 + c$。

$x = 4$ のとき $y = -4^2 + 6(4) + c = -16 + 24 + c = 8 + c$。

$5+c < 8+c$なので、$x=1$ で最小値を取ります。

問題文より、最小値が1なので、$5 + c = 1$ となります。

$c = 1 - 5 = -4$

したがって、$c = -4$ のとき、$y = -(x-3)^2 + 9 + (-4) = -(x-3)^2 + 5$。

$x = 3$ のとき、最大値は $5$ となります。

3. 最終的な答え

$c = -4$

最大値は $5$