$\sqrt{2} = 1.4142$、$\sqrt{3} = 1.7321$ を用いて、次の式の分母を有理化し、値を求めよ。 (1) $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$

1. 問題の内容

$\sqrt{2} = 1.4142$、$\sqrt{3} = 1.7321$ を用いて、次の式の分母を有理化し、値を求めよ。

(1) $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化のために、分母と分子に $\sqrt{3} + 1$ をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2} = \sqrt{3} + 1$

$\sqrt{3} = 1.7321$ なので、$\sqrt{3} + 1 = 1.7321 + 1 = 2.7321$

(2) 分母の有理化のために、分母と分子に $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2 - 3} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$\sqrt{2} = 1.4142$、$\sqrt{3} = 1.7321$ なので、$\sqrt{3} - \sqrt{2} = 1.7321 - 1.4142 = 0.3179$

3. 最終的な答え

(1) 2.7321

(2) 0.3179