1から4の数字が書かれたカードが合計10枚あり、それぞれの枚数は以下の通りです。 - 1のカード: 4枚 - 2のカード: 3枚 - 3のカード: 2枚 - 4のカード: 1枚 この10枚のカードから、元に戻さずに2枚続けて引きます。偶数のカードを引く回数を確率変数 $X$ とし、$Y = -30X + 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

1から4の数字が書かれたカードが合計10枚あり、それぞれの枚数は以下の通りです。

- 1のカード: 4枚

- 2のカード: 3枚

- 3のカード: 2枚

- 4のカード: 1枚

この10枚のカードから、元に戻さずに2枚続けて引きます。偶数のカードを引く回数を確率変数 $X$ とし、$Y = -30X + 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を計算します。

$X$ は偶数のカードを引く回数なので、取りうる値は0, 1, 2です。

- $X = 0$ (2枚とも奇数): 奇数のカードは6枚なので確率は、 $\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$

- $X = 1$ (1枚が偶数、1枚が奇数): 確率は、$\frac{6}{10} \times \frac{4}{9} + \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}$

- $X = 2$ (2枚とも偶数): 偶数のカードは4枚なので確率は、$\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$

期待値 $E(X)$ は、$0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{8}{15} + 2 \times \frac{2}{15} = \frac{8}{15} + \frac{4}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{3} + 1^2 \times \frac{8}{15} + 2^2 \times \frac{2}{15} = \frac{8}{15} + \frac{8}{15} = \frac{16}{15}$

分散 $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{16}{15} - (\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{15} - \frac{16}{25} = \frac{80}{75} - \frac{48}{75} = \frac{32}{75}$

次に、$Y = -30X + 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を計算します。

$E(Y) = E(-30X + 2) = -30E(X) + 2 = -30 \times \frac{4}{5} + 2 = -24 + 2 = -22$

$\sigma(Y) = |-30|\sigma(X) = 30\sqrt{V(X)} = 30\sqrt{\frac{32}{75}} = 30\sqrt{\frac{16 \times 2}{25 \times 3}} = 30 \times \frac{4}{5} \sqrt{\frac{2}{3}} = 24\sqrt{\frac{2}{3}} = 24\frac{\sqrt{6}}{3} = 8\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

期待値 E(Y): -22

標準偏差 σ(Y): $8\sqrt{6}$