2科目の小テストに関する5人の生徒の得点データが与えられています。それぞれの科目の得点を変量 $x$ , $y$ とするとき、変量 $x$ , $y$ の相関係数を求める問題です。

1. 問題の内容

2科目の小テストに関する5人の生徒の得点データが与えられています。それぞれの科目の得点を変量 $x$ , $y$ とするとき、変量 $x$ , $y$ の相関係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x$ と $y$ の平均を求める。

$x$ の平均 $\bar{x} = \frac{3+4+5+4+4}{5} = \frac{20}{5} = 4$

$y$ の平均 $\bar{y} = \frac{7+9+10+8+6}{5} = \frac{40}{5} = 8$

(2) $x$ と $y$ の標準偏差を求める。

$x$ の分散 $s_x^2 = \frac{(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2}{5} = \frac{1+0+1+0+0}{5} = \frac{2}{5}$

$x$ の標準偏差 $s_x = \sqrt{s_x^2} = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

$y$ の分散 $s_y^2 = \frac{(7-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(8-8)^2+(6-8)^2}{5} = \frac{1+1+4+0+4}{5} = \frac{10}{5} = 2$

$y$ の標準偏差 $s_y = \sqrt{s_y^2} = \sqrt{2}$

(3) $x$ と $y$ の共分散を求める。

$s_{xy} = \frac{(3-4)(7-8)+(4-4)(9-8)+(5-4)(10-8)+(4-4)(8-8)+(4-4)(6-8)}{5} = \frac{(-1)(-1)+(0)(1)+(1)(2)+(0)(0)+(0)(-2)}{5} = \frac{1+0+2+0+0}{5} = \frac{3}{5}$

(4) 相関係数を求める。

相関係数 $r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{10}}{5} \sqrt{2}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{20}}{5}} = \frac{3}{\sqrt{20}} = \frac{3}{2\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{10} = 0.67082...$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{5}}{10}$

あるいは、近似値で $0.67$