袋の中に番号2の玉が4個、番号3の玉が2個、番号4の玉が3個、番号5の玉が1個入っています。この袋から玉を1個取り出すときに出る番号を確率変数 $X$ とします。確率変数 $Y = 10X - 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

袋の中に番号2の玉が4個、番号3の玉が2個、番号4の玉が3個、番号5の玉が1個入っています。この袋から玉を1個取り出すときに出る番号を確率変数 $X$ とします。確率変数 $Y = 10X - 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ の確率分布を求めます。

袋の中の玉の総数は $4 + 2 + 3 + 1 = 10$ 個です。

$P(X=2) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$P(X=3) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$P(X=4) = \frac{3}{10}$

$P(X=5) = \frac{1}{10}$

次に、確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ を求めます。

$E(X) = 2 \cdot \frac{2}{5} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{3}{10} + 5 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} + \frac{12}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8+6+12+5}{10} = \frac{31}{10} = 3.1$

次に、確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を求めます。

$E(X^2) = 2^2 \cdot \frac{2}{5} + 3^2 \cdot \frac{1}{5} + 4^2 \cdot \frac{3}{10} + 5^2 \cdot \frac{1}{10} = 4 \cdot \frac{2}{5} + 9 \cdot \frac{1}{5} + 16 \cdot \frac{3}{10} + 25 \cdot \frac{1}{10} = \frac{8}{5} + \frac{9}{5} + \frac{48}{10} + \frac{25}{10} = \frac{16+18+48+25}{10} = \frac{107}{10} = 10.7$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 10.7 - (3.1)^2 = 10.7 - 9.61 = 1.09$

次に、$Y = 10X - 2$ の期待値 $E(Y)$ を求めます。

$E(Y) = E(10X - 2) = 10E(X) - 2 = 10 \cdot 3.1 - 2 = 31 - 2 = 29$

次に、$Y = 10X - 2$ の分散 $V(Y)$ を求めます。

$V(Y) = V(10X - 2) = 10^2 V(X) = 100 \cdot 1.09 = 109$

最後に、$Y = 10X - 2$ の標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めます。

$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{109} \approx 10.44$

3. 最終的な答え

期待値 $E(Y)$: 29

標準偏差 $\sigma(Y)$: $\sqrt{109}$ (または10.44)