$xy$ 平面において、曲線 $y = e^{-x}$ の接線が、$x$ 軸と $y$ 軸の正の部分とそれぞれ点 $P, Q$ で交わっている。三角形 $OPQ$ の面積の最大値を求めよ。ここで、$O$ は原点である。

1. 問題の内容

$xy$ 平面において、曲線 $y = e^{-x}$ の接線が、$x$ 軸と $y$ 軸の正の部分とそれぞれ点 $P, Q$ で交わっている。三角形 $OPQ$ の面積の最大値を求めよ。ここで、$O$ は原点である。

2. 解き方の手順

曲線 $y = e^{-x}$ 上の点 $(t, e^{-t})$ における接線を考える。

まず、$y = e^{-x}$ の導関数を求める。

$\frac{dy}{dx} = -e^{-x}$

したがって、点 $(t, e^{-t})$ における接線の傾きは $-e^{-t}$ となる。

接線の方程式は、$y - e^{-t} = -e^{-t}(x - t)$ となる。

$y = -e^{-t}x + te^{-t} + e^{-t}$

この接線と $x$ 軸との交点 $P$ の $x$ 座標を求める。$y = 0$ を代入すると、

$0 = -e^{-t}x + te^{-t} + e^{-t}$

$e^{-t}x = te^{-t} + e^{-t}$

$x = t + 1$

よって、$P$ の座標は $(t+1, 0)$ となる。

次に、接線と $y$ 軸との交点 $Q$ の $y$ 座標を求める。$x = 0$ を代入すると、

$y = te^{-t} + e^{-t}$

$y = (t+1)e^{-t}$

よって、$Q$ の座標は $(0, (t+1)e^{-t})$ となる。

三角形 $OPQ$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \times (t+1) \times (t+1)e^{-t} = \frac{1}{2} (t+1)^2 e^{-t}$

$S$ の最大値を求めるために、$S$ を $t$ で微分する。

$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{2} [2(t+1)e^{-t} - (t+1)^2e^{-t}]$

$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{2} (t+1)e^{-t} [2 - (t+1)]$

$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{2} (t+1)e^{-t} (1-t)$

$\frac{dS}{dt} = 0$ となるのは、$t = -1$ または $t = 1$ のとき。

$t > 0$ より、$t = 1$ である。

$t < 1$ のとき、$\frac{dS}{dt} > 0$ であり、$t > 1$ のとき、$\frac{dS}{dt} < 0$ であるから、$t=1$ のとき $S$ は最大となる。

$t = 1$ を $S$ に代入すると、

$S = \frac{1}{2} (1+1)^2 e^{-1} = \frac{1}{2} (4) e^{-1} = \frac{2}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{e}$