複素数平面において、点 $z$ をそれぞれ (1) $(1+\sqrt{3}i)z$, (2) $(-1+i)z$, (3) $2iz$ で表される点に移動させることは、点 $z$ をどのように移動させたことになるかを答える問題です。

1. 問題の内容

複素数平面において、点 $z$ をそれぞれ (1) $(1+\sqrt{3}i)z$, (2) $(-1+i)z$, (3) $2iz$ で表される点に移動させることは、点 $z$ をどのように移動させたことになるかを答える問題です。

2. 解き方の手順

複素数の積は、回転と拡大に対応します。複素数 $a+bi$ を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表すと、複素数 $z$ に $a+bi$ を掛けることは、$z$ を原点中心に $\theta$ 回転させ、絶対値を $r$ 倍に拡大することに対応します。

(1) $1+\sqrt{3}i$ を極形式で表します。

$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos\theta = \frac{1}{2}, \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$

よって、$1+\sqrt{3}i = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$

したがって、$(1+\sqrt{3}i)z$ は、点 $z$ を原点中心に $\frac{\pi}{3}$ 回転させ、絶対値を 2 倍にした点です。

(2) $-1+i$ を極形式で表します。

$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

$\cos\theta = \frac{-1}{\sqrt{2}}, \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = \frac{3\pi}{4}$

よって、$-1+i = \sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4})$

したがって、$(-1+i)z$ は、点 $z$ を原点中心に $\frac{3\pi}{4}$ 回転させ、絶対値を $\sqrt{2}$ 倍にした点です。

(3) $2i$ を極形式で表します。

$r = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$

$\cos\theta = \frac{0}{2} = 0, \sin\theta = \frac{2}{2} = 1$ より、$\theta = \frac{\pi}{2}$

よって、$2i = 2(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$

したがって、$2iz$ は、点 $z$ を原点中心に $\frac{\pi}{2}$ 回転させ、絶対値を 2 倍にした点です。

3. 最終的な答え

(1) 原点中心に $\frac{\pi}{3}$ 回転させ、絶対値を 2 倍にした点

(2) 原点中心に $\frac{3\pi}{4}$ 回転させ、絶対値を $\sqrt{2}$ 倍にした点

(3) 原点中心に $\frac{\pi}{2}$ 回転させ、絶対値を 2 倍にした点