多項式 $x^3 + ax^2 - x - 12$ を $x+2$ で割ったときの余りが $-2$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 + ax^2 - x - 12$ を $x+2$ で割ったときの余りが $-2$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余りの定理を利用する。余りの定理とは、多項式 $P(x)$ を $x-c$ で割ったときの余りは $P(c)$ であるという定理である。

この問題では、$P(x) = x^3 + ax^2 - x - 12$ であり、$x+2$ で割るので、$c = -2$ である。

したがって、余りは $P(-2)$ であり、問題文より $P(-2) = -2$ である。

$P(-2)$ を計算すると、

$P(-2) = (-2)^3 + a(-2)^2 - (-2) - 12 = -8 + 4a + 2 - 12 = 4a - 18$

したがって、

$4a - 18 = -2$

$4a = 16$

$a = 4$

3. 最終的な答え

$a = 4$