二次関数 $y = -x^2 + 6x - 4$ の $2 \leq x \leq 5$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -x^2 + 6x - 4$ の $2 \leq x \leq 5$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 6x - 4$

$y = -(x^2 - 6x) - 4$

$y = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 4$

$y = -(x - 3)^2 + 9 - 4$

$y = -(x - 3)^2 + 5$

この式から、この二次関数の頂点が $(3, 5)$ であることがわかります。また、$x^2$の係数が負であるため、上に凸なグラフです。

次に、定義域 $2 \leq x \leq 5$ における最大値と最小値を調べます。

頂点の $x$ 座標は $x = 3$ で、これは定義域 $2 \leq x \leq 5$ に含まれています。したがって、この定義域において $x = 3$ のとき、最大値 $y = 5$ をとります。

最小値を求めるには、定義域の端点である $x = 2$ と $x = 5$ での $y$ の値を計算します。

$x = 2$ のとき、

$y = -(2 - 3)^2 + 5 = -(-1)^2 + 5 = -1 + 5 = 4$

$x = 5$ のとき、

$y = -(5 - 3)^2 + 5 = -(2)^2 + 5 = -4 + 5 = 1$

$x = 5$ のとき、 $y=1$ となり、$x=2$ のとき、$y=4$なので、最小値は$x=5$のときの$y=1$となります。

3. 最終的な答え

最大値: $5$ ($x=3$のとき)

最小値: $1$ ($x=5$のとき)