多項式 $x^3 + ax^2 - 3x - 4$ を $x+1$ で割ったときの余りが $1$ であるとき、$a$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 + ax^2 - 3x - 4$ を $x+1$ で割ったときの余りが $1$ であるとき、$a$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、$P(x) = x^3 + ax^2 - 3x - 4$ を $x+1$ で割った余りは $P(-1)$ で与えられます。

問題文より、$P(-1) = 1$ です。

$x = -1$ を $P(x)$ に代入すると、

$P(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 - 3(-1) - 4 = -1 + a + 3 - 4 = a - 2$

したがって、$a - 2 = 1$ となります。

この方程式を解くと、$a = 3$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 3$