多項式 $-2x^3 + 4x^2 - 2x + 1$ を $3x - 1$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

多項式 $-2x^3 + 4x^2 - 2x + 1$ を $3x - 1$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用する。

多項式 $P(x)$ を $ax-b$ で割ったときの余りは $P(\frac{b}{a})$ で求められる。

この問題の場合、$P(x) = -2x^3 + 4x^2 - 2x + 1$ であり、$ax - b = 3x - 1$ なので、$a = 3$、$b = 1$ である。

よって、$x = \frac{1}{3}$ を $P(x)$ に代入して余りを計算する。

$P(\frac{1}{3}) = -2(\frac{1}{3})^3 + 4(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) + 1$

$= -2(\frac{1}{27}) + 4(\frac{1}{9}) - \frac{2}{3} + 1$

$= -\frac{2}{27} + \frac{4}{9} - \frac{2}{3} + 1$

$= -\frac{2}{27} + \frac{12}{27} - \frac{18}{27} + \frac{27}{27}$

$= \frac{-2 + 12 - 18 + 27}{27}$

$= \frac{19}{27}$

3. 最終的な答え

$\frac{19}{27}$