問題2-7は、初速度 $v_0$、角度 $\theta$ で打ち出された物体が放物線を描くこと、すなわち、物体の軌跡が $y = Ax^2 + Bx$ の形で表されることを示す問題です。

1. 問題の内容

問題2-7は、初速度 $v_0$、角度 $\theta$ で打ち出された物体が放物線を描くこと、すなわち、物体の軌跡が $y = Ax^2 + Bx$ の形で表されることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、物体の運動を $x$ 方向と $y$ 方向に分解します。空気抵抗は無視できるものとします。

$x$ 方向には等速運動をし、$y$ 方向には重力による等加速度運動をします。

時刻 $t$ における $x$ 座標と $y$ 座標は、それぞれ以下の式で表されます。

$x = v_0 \cos\theta \cdot t$

$y = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$

$x$ の式から $t$ を求め、$t = \frac{x}{v_0 \cos\theta}$ を $y$ の式に代入します。

$y = v_0 \sin\theta \cdot \frac{x}{v_0 \cos\theta} - \frac{1}{2}g (\frac{x}{v_0 \cos\theta})^2$

これを整理すると、

$y = \tan\theta \cdot x - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\theta} x^2$

これは、$y = Ax^2 + Bx$ の形（ただし、$A = -\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\theta}$、$B = \tan\theta$）をしているので、放物線を描くことが示されました。

3. 最終的な答え

物体の軌跡は、$y = \tan\theta \cdot x - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\theta} x^2$ で表され、$y = Ax^2 + Bx$ の形をしているので、放物線を描くことが示されました。