以下の式を証明する。 $(a \times b) \cdot (a \times b) + (a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2$

## 問題の解答

### 問1

1. 問題の内容

以下の式を証明する。

$(a \times b) \cdot (a \times b) + (a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2$

2. 解き方の手順

左辺を展開し、ベクトルの恒等式を利用して右辺を導く。

まず、左辺の第1項は、$|a \times b|^2$ と書き換えられる。

$|a \times b|^2 = |a|^2 |b|^2 \sin^2 \theta$

ここで、$\theta$ はベクトル $a$ と $b$ のなす角である。

左辺の第2項は、$(a \cdot b)^2$ である。

$(a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2 \cos^2 \theta$

したがって、左辺は

$|a|^2 |b|^2 \sin^2 \theta + |a|^2 |b|^2 \cos^2 \theta = |a|^2 |b|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$

三角関数の恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いると、

$|a|^2 |b|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = |a|^2 |b|^2$

これは右辺に等しい。したがって、与えられた式は証明された。

3. 最終的な答え

$(a \times b) \cdot (a \times b) + (a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2$

### 問2

1. 問題の内容

以下の式を示す。

$(a \times b) \cdot (c \times d) = (a \cdot c)(b \cdot d) - (a \cdot d)(b \cdot c)$

2. 解き方の手順

左辺を変形するために、スカラー三重積の性質を用いる。

$a \times b$ を一つのベクトル $p$ と置くと、$p = a \times b$である。

左辺は $p \cdot (c \times d)$ となる。

スカラー三重積の性質より、$p \cdot (c \times d) = (p \times c) \cdot d$である。

ここで、$p = a \times b$ を代入すると、

$(a \times b) \cdot (c \times d) = ((a \times b) \times c) \cdot d$となる。

次に、ベクトル三重積の公式 $(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$ を用いると、

$((a \times b) \times c) \cdot d = ((a \cdot c)b - (b \cdot c)a) \cdot d = (a \cdot c)(b \cdot d) - (b \cdot c)(a \cdot d)$

これは右辺に等しい。したがって、与えられた式は示された。

3. 最終的な答え

$(a \times b) \cdot (c \times d) = (a \cdot c)(b \cdot d) - (a \cdot d)(b \cdot c)$

### 問3

1. 問題の内容

3次元空間上に任意のベクトル $a$ と、長さが1の単位ベクトル $n$ ($|n|=1$) がある。以下の問いに答える。

(1) ベクトル $a$ の $n$ 方向への投影ベクトルは $(n \cdot a)n$ であることを示す。

(2) $a - (n \cdot a)n = n \times (a \times n)$ を示す。

(3) (2) より $a = (n \cdot a)n + n \times (a \times n)$ と表されるが、右辺のそれぞれの2つの項は何を意味しているのか説明する。

(4) $a = (1, 1, 1)$, $n = (1, 0, 0)$ のとき、$n \times (a \times n)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 投影ベクトルの定義から示す。

(2) ベクトル三重積の公式を用いて示す。

(3) (1)と(2)の結果を元に、それぞれの項が何を表しているのか説明する。

(4) ベクトルの外積の計算を行う。

(1) ベクトル $a$ の $n$ 方向への投影ベクトルを $a_n$ とする。

投影ベクトルの大きさは $|a| \cos \theta$ であり、$\theta$ は $a$ と $n$ のなす角である。

$a \cdot n = |a||n|\cos \theta$ より、$\cos \theta = \frac{a \cdot n}{|a||n|}$

$|a_n| = |a| \cos \theta = |a| \frac{a \cdot n}{|a||n|} = \frac{a \cdot n}{|n|}$

$n$ は単位ベクトルなので $|n| = 1$。よって $|a_n| = a \cdot n$

$a_n$ の方向は $n$ と同じなので、$a_n = (a \cdot n) n$

(2) ベクトル三重積の公式 $n \times (a \times n) = (n \cdot n) a - (n \cdot a) n$ を用いる。

$n$ は単位ベクトルなので $n \cdot n = |n|^2 = 1$

よって、$n \times (a \times n) = a - (n \cdot a) n$

(3) $a = (n \cdot a)n + n \times (a \times n)$

右辺第1項 $(n \cdot a) n$ は、ベクトル $a$ の $n$ 方向への**正射影ベクトル**を表す。

右辺第2項 $n \times (a \times n)$ は、ベクトル $a$ から $n$ 方向への正射影ベクトルを引いた残りのベクトルであり、$n$ に**垂直な成分**を表す。

(4) $a = (1, 1, 1)$, $n = (1, 0, 0)$ のとき、$n \times (a \times n)$ を求める。

まず、$a \times n = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0-0)i - (0-1)j + (0-1)k = (0, 1, -1)$

次に、$n \times (a \times n) = n \times (0, 1, -1) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (0-0)i - (-1-0)j + (1-0)k = (0, 1, 1)$

3. 最終的な答え

(1) ベクトル $a$ の $n$ 方向への投影ベクトルは $(n \cdot a)n$ である。

(2) $a - (n \cdot a)n = n \times (a \times n)$

(3) $(n \cdot a) n$ はベクトル $a$ の $n$ 方向への正射影ベクトル、$n \times (a \times n)$ はベクトル $a$ の $n$ に垂直な成分を表す。

(4) $n \times (a \times n) = (0, 1, 1)$