小球が水平面に対して30°の角度で速度 $v$ で衝突し、跳ね返った直後の速度のx成分 $v'_x$ とy成分 $v'_y$ を、反発係数 $\frac{1}{3}$ を用いて、$v$ で表す問題です。x軸は水平右向き、y軸は鉛直下向きにとります。

1. 問題の内容

小球が水平面に対して30°の角度で速度 $v$ で衝突し、跳ね返った直後の速度のx成分 $v'_x$ とy成分 $v'_y$ を、反発係数 $\frac{1}{3}$ を用いて、$v$ で表す問題です。x軸は水平右向き、y軸は鉛直下向きにとります。

2. 解き方の手順

* 衝突前の速度をx成分 $v_x$、y成分 $v_y$ に分解します。

$v_x = v \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} v$

$v_y = v \sin 30^\circ = \frac{1}{2} v$

* x軸方向には力積が働かないため、速度は変化しません。したがって、衝突後のx成分 $v'_x$ は衝突前と等しくなります。

$v'_x = v_x = \frac{\sqrt{3}}{2} v$

* y軸方向には力積が働き、速度が変化します。反発係数を $e$ とすると、衝突後のy成分 $v'_y$ は

$v'_y = -e v_y$ となります。問題文より $e = \frac{1}{3}$ であるので、

$v'_y = -\frac{1}{3} v_y = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} v = -\frac{1}{6}v$

ここではy軸下向きを正としているので、$v'_y$は上向きになります。

3. 最終的な答え

$v'_x = \frac{\sqrt{3}}{2}v$

$v'_y = -\frac{1}{6}v$