与えられた問題はDSB（両側波帯）変調に関する3つの設問です。 1) DSB変調波 $f_{dsb}(t)$ を、搬送波 $V_c \sin(\omega_c t)$、情報信号 $s(t)$ および変調指数 $m$ を用いて表す。 2) DSB変調波 $f_{dsb}(t)$ をフーリエ変換し、周波数スペクトル $f_{dsb}(\omega)$ で表す。ただし、$F[s(t)] = S(\omega)$ とする。 3) $s(t) = \sin(\omega_m t)$ としたときの $f_{dsb}(t)$ をフーリエ変換し、周波数スペクトル $f_{dsb}(\omega)$ で表し、さらに $f_{dsb}(\omega)$ を図1に示す。

1. 問題の内容

与えられた問題はDSB（両側波帯）変調に関する3つの設問です。

1) DSB変調波 $f_{dsb}(t)$ を、搬送波 $V_c \sin(\omega_c t)$、情報信号 $s(t)$ および変調指数 $m$ を用いて表す。

2) DSB変調波 $f_{dsb}(t)$ をフーリエ変換し、周波数スペクトル $f_{dsb}(\omega)$ で表す。ただし、$F[s(t)] = S(\omega)$ とする。

3) $s(t) = \sin(\omega_m t)$ としたときの $f_{dsb}(t)$ をフーリエ変換し、周波数スペクトル $f_{dsb}(\omega)$ で表し、さらに $f_{dsb}(\omega)$ を図1に示す。

2. 解き方の手順

1) DSB変調では、変調波は搬送波と情報信号の積で表されます。したがって、DSB変調波 $f_{dsb}(t)$ は以下のようになります。

$f_{dsb}(t) = V_c s(t) \sin(\omega_c t)$

変調指数 $m$ は定義されていませんが、通常、$m = 1$と見なして良いでしょう。問題文に特に指示がないため、変調指数を使わずにそのまま記述します。

2) DSB変調波のフーリエ変換は、時間領域での積が周波数領域での畳み込みに対応することを利用して求めます。まず、$f_{dsb}(t) = V_c s(t) \sin(\omega_c t)$ のフーリエ変換を考えます。

$\sin(\omega_c t)$ のフーリエ変換は、$F[\sin(\omega_c t)] = \frac{\pi}{j} [\delta(\omega - \omega_c) - \delta(\omega + \omega_c)]$ です。

$f_{dsb}(t) = V_c s(t) \sin(\omega_c t)$ のフーリエ変換は、

$F[f_{dsb}(t)] = f_{dsb}(\omega) = \frac{V_c}{2j} [S(\omega - \omega_c) - S(\omega + \omega_c)]$

3) $s(t) = \sin(\omega_m t)$ のとき、そのフーリエ変換は、$S(\omega) = \frac{\pi}{j} [\delta(\omega - \omega_m) - \delta(\omega + \omega_m)]$ となります。

したがって、$f_{dsb}(\omega)$ は、

$f_{dsb}(\omega) = \frac{V_c}{2j} [ \frac{\pi}{j} \{\delta(\omega - \omega_c - \omega_m) - \delta(\omega - \omega_c + \omega_m) \} - \frac{\pi}{j} \{ \delta(\omega + \omega_c - \omega_m) - \delta(\omega + \omega_c + \omega_m) \} ]$

$f_{dsb}(\omega) = \frac{\pi V_c}{2} [ -\delta(\omega - \omega_c - \omega_m) + \delta(\omega - \omega_c + \omega_m) + \delta(\omega + \omega_c - \omega_m) - \delta(\omega + \omega_c + \omega_m)]$

これは、$\pm (\omega_c + \omega_m)$ と $\pm (\omega_c - \omega_m)$ にインパルスが立つことを意味します。図1では、横軸を $\omega$、縦軸を $f_{dsb}(\omega)$ とし、これらの周波数にインパルス（デルタ関数）を描きます。正の周波数領域では、$\omega_c - \omega_m$ と $\omega_c + \omega_m$ にそれぞれ高さ $\frac{\pi V_c}{2}$ のインパルスをプロットします。負の周波数領域では、$-\omega_c - \omega_m$ と $-\omega_c + \omega_m$ にそれぞれ高さ $\frac{\pi V_c}{2}$ のインパルスをプロットします。

3. 最終的な答え

1) $f_{dsb}(t) = V_c s(t) \sin(\omega_c t)$

2) $f_{dsb}(\omega) = \frac{V_c}{2j} [S(\omega - \omega_c) - S(\omega + \omega_c)]$

3) $f_{dsb}(\omega) = \frac{\pi V_c}{2} [ -\delta(\omega - \omega_c - \omega_m) + \delta(\omega - \omega_c + \omega_m) + \delta(\omega + \omega_c - \omega_m) - \delta(\omega + \omega_c + \omega_m)]$。

図1には、$\pm (\omega_c + \omega_m)$ と $\pm (\omega_c - \omega_m)$ の位置にインパルスを描く。