質量 5.0 kg の物体が、傾斜角 $\theta$ ($\sin \theta = \frac{3}{5}$, $\cos \theta = \frac{4}{5}$) の斜面上に置かれている。物体は、大きさ 20 N の力 $F$ で斜面に沿って引かれている。物体の加速度の向きと大きさを求める。

## 問題の解答

### (4) 右の図において、物体の加速度はどの向きに何 m/s^2 か。

1. 問題の内容

質量 5.0 kg の物体が、傾斜角 $\theta$ ($\sin \theta = \frac{3}{5}$, $\cos \theta = \frac{4}{5}$) の斜面上に置かれている。物体は、大きさ 20 N の力 $F$ で斜面に沿って引かれている。物体の加速度の向きと大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1) 物体にはたらく力を図示する。

- 重力 $mg$ (下向き)

- 垂直抗力 $N$ (斜面に垂直上向き)

- 引く力 $F$ (斜面に沿って上向き)

(2) 座標軸を設定する。斜面に沿って上向きを $x$ 軸の正の向き、斜面に垂直上向きを $y$ 軸の正の向きとする。

(3) 各力を $x$ 軸、 $y$ 軸方向に分解する。

- 重力 $mg$ の $x$ 成分: $-mg \sin \theta$

- 重力 $mg$ の $y$ 成分: $-mg \cos \theta$

- 引く力 $F$ の $x$ 成分: $F$

- 垂直抗力 $N$ の $y$ 成分: $N$

(4) $x$ 軸方向の運動方程式を立てる。

$$ma = F - mg \sin \theta$$

(5) $y$ 軸方向の力のつり合いの式を立てる。

$$N - mg \cos \theta = 0$$

$$N = mg \cos \theta$$

(6) 運動方程式を解いて、加速度 $a$ を求める。

$$a = \frac{F - mg \sin \theta}{m}$$

数値を代入する。

$m = 5.0 \text{ kg}$, $F = 20 \text{ N}$, $g = 9.8 \text{ m/s}^2$, $\sin \theta = \frac{3}{5}$

$$a = \frac{20 - 5.0 \times 9.8 \times \frac{3}{5}}{5.0} = \frac{20 - 29.4}{5.0} = \frac{-9.4}{5.0} = -1.88 \text{ m/s}^2$$

(7) 加速度の向きは $x$ 軸の負の向きなので、斜面下向きである。

3. 最終的な答え

物体の加速度は、斜面下向きに 1.88 m/s^2 である。

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4. 質量 0.50 kg の球を軽い糸でつるし、糸の上端を持って鉛直上向きに球を引き上げた。

1. 問題の内容

質量 0.50 kg の球が軽い糸でつるされている。糸の上端を持って鉛直上向きに球を引き上げる場合について、以下の問いに答える。

(1) 球にはたらく重力の大きさ [N] を求めよ。

(2) 次の各場合の糸が球を引く力 (張力) T [N] の大きさを求めよ。

① 球が一定の速さ 1.4 m/s で上昇中。

② 球が鉛直下向きの加速度 2.8 m/s^2 で上昇中。

(3) 糸が球を 5.9 N で鉛直上向きに引いたとき、球の加速度はどちら向きに何 m/s^2 か。

2. 解き方の手順

(1) 重力の大きさは、$W = mg$ で求められる。

ここで、$m = 0.50 \text{ kg}$、 $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ である。

(2)

① 球が一定の速さで上昇している場合、加速度は 0 なので、力のつり合いが成り立っている。

したがって、張力 $T$ は重力 $mg$ と等しい。

$T = mg$

② 球が鉛直下向きの加速度 2.8 m/s^2 で上昇している場合、加速度は上向きに -2.8 m/s^2である。

運動方程式は $ma = T - mg$ より、$T = ma + mg = m(a + g)$。

ただし、aは加速度の大きさ。上向きを正とすると、aは負の値となる。

(3) 糸が球を 5.9 N で鉛直上向きに引いている場合の運動方程式は、

$ma = T - mg$

加速度 $a$ は $a = \frac{T - mg}{m}$ で求められる。

3. 最終的な答え

(1) 重力の大きさ:

$W = 0.50 \times 9.8 = 4.9 \text{ N}$

(2)

① 一定の速さで上昇中の張力:

$T = 0.50 \times 9.8 = 4.9 \text{ N}$

② 鉛直下向きの加速度で上昇中の張力:

$T = 0.50 \times (-2.8 + 9.8) = 0.50 \times 7.0 = 3.5 \text{ N}$

(3) 加速度:

$a = \frac{5.9 - 0.50 \times 9.8}{0.50} = \frac{5.9 - 4.9}{0.50} = \frac{1.0}{0.50} = 2.0 \text{ m/s}^2$

加速度は上向きに 2.0 m/s^2 である。