6個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6 を重複なく使ってできる6桁の整数を、小さい方から順に並べるとき、300番目の数を求める問題です。

1. 問題の内容

6個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6 を重複なく使ってできる6桁の整数を、小さい方から順に並べるとき、300番目の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、6個の数字を並べてできる6桁の整数の総数を求めます。これは $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ 個です。

次に、先頭の数字が小さい順に並べて、300番目の数がどの範囲にあるか考えます。

- 先頭の数字が1であるものは $5! = 120$ 個

- 先頭の数字が2であるものは $5! = 120$ 個

- 先頭の数字が3であるものは $5! = 120$ 個

先頭が1または2の数の個数は $120+120 = 240$ 個です。

先頭が1,2,3の数の個数は $120+120+120 = 360$ 個です。

したがって、300番目の数は先頭の数字が3である数の中にあります。

300番目の数は、先頭が3の数の中で、$300 - 240 = 60$ 番目の数です。

次に、2桁目の数字を考えます。先頭が3の場合、残りの数字は 1, 2, 4, 5, 6 です。

- 2桁目が1であるものは $4! = 24$ 個

- 2桁目が2であるものは $4! = 24$ 個

2桁目が1または2であるものの個数は $24 + 24 = 48$ 個です。

したがって、300番目の数は2桁目が4以上の数の中にあります。

60番目の数は、先頭が3で、2桁目が1,2の数を引いた、$60 - 48 = 12$番目の数です。

次に、3桁目の数字を考えます。先頭が3で2桁目が4である場合、残りの数字は 1, 2, 5, 6 です。

- 3桁目が1であるものは $3! = 6$ 個

- 3桁目が2であるものは $3! = 6$ 個

3桁目が1であるものを数え上げると6個、3桁目が2であるものを数え上げると6個になります。

したがって、12番目の数は3桁目が2であるグループの最後の数になります。

つまり、3桁目が2で、残りの数字 1, 5, 6 を大きい順に並べたものです。

したがって、4桁目以降は 6, 5, 1 となります。

3. 最終的な答え

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