複素数平面において、以下の2つの方程式を満たす点 $z$ 全体の集合がどのような図形になるか答える問題です。 (1) $3|z+2| = |z-6|$ (2) $|z-4i| = 2|z-i|$

はい、承知しました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

複素数平面において、以下の2つの方程式を満たす点 $z$ 全体の集合がどのような図形になるか答える問題です。

(1) $3|z+2| = |z-6|$

(2) $|z-4i| = 2|z-i|$

2. 解き方の手順

(1) $z = x + yi$ ($x, y$ は実数) とおきます。

$3|z+2| = |z-6|$ に代入すると、

$3|(x+2)+yi| = |(x-6)+yi|$

$3\sqrt{(x+2)^2 + y^2} = \sqrt{(x-6)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$9((x+2)^2 + y^2) = (x-6)^2 + y^2$

$9(x^2 + 4x + 4 + y^2) = x^2 - 12x + 36 + y^2$

$9x^2 + 36x + 36 + 9y^2 = x^2 - 12x + 36 + y^2$

$8x^2 + 48x + 8y^2 = 0$

$x^2 + 6x + y^2 = 0$

$(x+3)^2 - 9 + y^2 = 0$

$(x+3)^2 + y^2 = 9$

これは中心が $-3$ 、半径が $3$ の円を表します。

(2) $z = x + yi$ ($x, y$ は実数) とおきます。

$|z-4i| = 2|z-i|$ に代入すると、

$|x + (y-4)i| = 2|x + (y-1)i|$

$\sqrt{x^2 + (y-4)^2} = 2\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$

両辺を2乗すると、

$x^2 + (y-4)^2 = 4(x^2 + (y-1)^2)$

$x^2 + y^2 - 8y + 16 = 4(x^2 + y^2 - 2y + 1)$

$x^2 + y^2 - 8y + 16 = 4x^2 + 4y^2 - 8y + 4$

$3x^2 + 3y^2 = 12$

$x^2 + y^2 = 4$

これは中心が $0$ 、半径が $2$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $-3$、半径 $3$ の円

(2) 中心 $0$、半径 $2$ の円