次の3つの関数のグラフの概形を求める問題です。 (1) $y = e^{-\frac{x^2}{2}}$ (2) $y = \frac{4x}{x^2 + 1}$ (3) $y = \frac{x^2 - x + 4}{x}$

1. 問題の内容

次の3つの関数のグラフの概形を求める問題です。

(1) $y = e^{-\frac{x^2}{2}}$

(2) $y = \frac{4x}{x^2 + 1}$

(3) $y = \frac{x^2 - x + 4}{x}$

2. 解き方の手順

各関数のグラフの概形を求めるために、以下の手順で解析します。

(1) 定義域、対称性、漸近線を調べる。

(2) 導関数を計算し、増減を調べる。

(3) 二階導関数を計算し、凹凸を調べる。

(4) グラフの概形を描く。

(1) $y = e^{-\frac{x^2}{2}}$

* 定義域：実数全体

* 対称性：偶関数（$y(-x) = y(x)$）なので、$y$軸に関して対称

* 漸近線：$x \to \pm\infty$のとき、$y \to 0$なので、$x$軸が漸近線

* 導関数：

$y' = e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot (-x) = -xe^{-\frac{x^2}{2}}$

$y' = 0$のとき、$x = 0$。$x < 0$で$y' > 0$、$x > 0$で$y' < 0$。したがって、$x = 0$で極大値$y = 1$をとる。

* 二階導関数：

$y'' = -e^{-\frac{x^2}{2}} - x(-xe^{-\frac{x^2}{2}}) = (x^2 - 1)e^{-\frac{x^2}{2}}$

$y'' = 0$のとき、$x = \pm 1$。$x < -1$、$x > 1$で$y'' > 0$、$-1 < x < 1$で$y'' < 0$。したがって、$x = \pm 1$で変曲点を持ち、$y = e^{-\frac{1}{2}} \approx 0.6065$

(2) $y = \frac{4x}{x^2 + 1}$

* 定義域：実数全体

* 対称性：奇関数（$y(-x) = -y(x)$）なので、原点に関して対称

* 漸近線：$x \to \pm\infty$のとき、$y \to 0$なので、$x$軸が漸近線

* 導関数：

$y' = \frac{4(x^2 + 1) - 4x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}$

$y' = 0$のとき、$x = \pm 1$。$x < -1$で$y' < 0$、$-1 < x < 1$で$y' > 0$、$x > 1$で$y' < 0$。したがって、$x = -1$で極小値$y = -2$、$x = 1$で極大値$y = 2$をとる。

* 二階導関数：

$y'' = \frac{-8x(x^2 + 1)^2 - (4 - 4x^2) \cdot 2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4} = \frac{-8x(x^2 + 1) - 4x(4 - 4x^2)}{(x^2 + 1)^3} = \frac{8x^3 - 24x}{(x^2 + 1)^3} = \frac{8x(x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^3}$

$y'' = 0$のとき、$x = 0, \pm \sqrt{3}$。これらの点で変曲点を持つ。

(3) $y = \frac{x^2 - x + 4}{x} = x - 1 + \frac{4}{x}$

* 定義域：$x \ne 0$

* 漸近線：$x = 0$、$y = x - 1$

* 導関数：

$y' = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$

$y' = 0$のとき、$x = \pm 2$。$x < -2$で$y' > 0$、$-2 < x < 0$で$y' < 0$、$0 < x < 2$で$y' < 0$、$x > 2$で$y' > 0$。したがって、$x = -2$で極大値$y = -5$、$x = 2$で極小値$y = 3$をとる。

* 二階導関数：

$y'' = \frac{8}{x^3}$

$x > 0$で$y'' > 0$、$x < 0$で$y'' < 0$。変曲点はない。

3. 最終的な答え

各関数のグラフの概形は以下の通りです。

（具体的なグラフの形状は、上記の情報をもとに作図してください。）

(1) $y = e^{-\frac{x^2}{2}}$：$y$軸に関して対称な釣鐘型のグラフ。極大値$(0, 1)$、変曲点$(\pm 1, e^{-\frac{1}{2}})$、$x$軸が漸近線。

(2) $y = \frac{4x}{x^2 + 1}$：原点に関して対称なグラフ。極大値$(1, 2)$、極小値$(-1, -2)$、変曲点$(0, 0), (\pm \sqrt{3}, \pm \sqrt{3})$、$x$軸が漸近線。

(3) $y = \frac{x^2 - x + 4}{x}$：双曲線のようなグラフ。極大値$(-2, -5)$、極小値$(2, 3)$、漸近線$x = 0$、$y = x - 1$。