四角形ABCDにおいて、$\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 165^\circ$, $\angle C = 90^\circ$, $AB = \sqrt{3} - 1$, $AD = 2$ が与えられています。 (1) 線分BDの長さを求めます。 (2) $\angle ABD$ の大きさを求めます。 (3) 線分CDの長さを求めます。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 165^\circ$, $\angle C = 90^\circ$, $AB = \sqrt{3} - 1$, $AD = 2$ が与えられています。

(1) 線分BDの長さを求めます。

(2) $\angle ABD$ の大きさを求めます。

(3) 線分CDの長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1) BDの長さを求める

三角形ABDにおいて、余弦定理を適用します。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$

$BD^2 = (\sqrt{3} - 1)^2 + 2^2 - 2 \cdot (\sqrt{3} - 1) \cdot 2 \cdot \cos 30^\circ$

$BD^2 = (3 - 2\sqrt{3} + 1) + 4 - 4(\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$BD^2 = 8 - 2\sqrt{3} - 2(3 - \sqrt{3})$

$BD^2 = 8 - 2\sqrt{3} - 6 + 2\sqrt{3}$

$BD^2 = 2$

$BD = \sqrt{2}$

(2) $\angle ABD$の大きさを求める

三角形ABDにおいて、正弦定理を適用します。

$\frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{BD}{\sin A}$

$\frac{2}{\sin \angle ABD} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$

$\frac{2}{\sin \angle ABD} = \frac{\sqrt{2}}{1/2}$

$\frac{2}{\sin \angle ABD} = 2\sqrt{2}$

$\sin \angle ABD = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\angle ABD = 45^\circ$

(3) CDの長さを求める

まず、$\angle BDC$ を求めます。

四角形の内角の和は360°なので、$\angle D = 360^\circ - (30^\circ + 165^\circ + 90^\circ) = 360^\circ - 285^\circ = 75^\circ$

$\angle ADB = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

$\angle BDC = \angle ADC - \angle ADB = 75^\circ$ と矛盾するので、$\angle ABD$は鋭角。

三角形BCDにおいて、$\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 165^\circ - 45^\circ = 120^\circ$

$\angle BDC = 180^\circ - (90^\circ + 120^\circ) = 180^\circ - 210^\circ = -30^\circ$となり、矛盾しています。

$\angle ADB = 180 - 30 - \angle ABD$

$\angle ABD = 15$ のとき、$\angle ADB = 180 - 30 -15 = 135$

$\frac{2}{\sin(ABD)} = \frac{BD}{\sin 30}$

$\frac{2}{\sin(ABD)} = \frac{\sqrt{2}}{1/2} = 2\sqrt{2}$

$\sin(\angle ABD) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\angle ABD = 45$

$\angle ADB = 105$

$\angle BDC = 75 - 105 = -30$

$\angle DBC = 165 - 45 = 120$

三角形BCDは存在しない

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360$

$30 + 165 + 90 + \angle D = 360$

$\angle D = 75$

三角形BCDで正弦定理

$\frac{CD}{\sin \angle DBC} = \frac{BD}{\sin \angle BCD}$

$\angle BDC = 180 - 90 - \angle DBC$

$75 = 90 - \angle DBC$

$\angle DBC = 15$

$\frac{CD}{\sin 15} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 90}$

$CD = \sqrt{2} \sin 15$

$CD = \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{12} - 2}{4} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{4} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $BD = \sqrt{2}$

(2) $\angle ABD = 15^\circ$

(3) $CD = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$