与えられた式を因数分解しなさい： $2x^2 -3xy + y^2 + 11x - 7y + 12$

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解しなさい：

$2x^2 -3xy + y^2 + 11x - 7y + 12$

2. 解き方の手順

まず、$x$について整理します。

$2x^2 +(-3y+11)x +(y^2 -7y +12)$

次に、$y^2 -7y + 12$ を因数分解します。

$y^2 - 7y + 12 = (y-3)(y-4)$

次に、与えられた式全体を因数分解します。

$2x^2 +(-3y+11)x +(y-3)(y-4) = (2x + ay + b)(x + cy + d)$と仮定して、$a, b, c, d$を求める。

$(2x + ay + b)(x + cy + d) = 2x^2 + 2cxy + 2dx + axy + acy^2 + ady + bx + bcy + bd = 2x^2 + (2c + a)xy + acy^2 + (2d+b)x + (ad+bc)y + bd$

与えられた式と比較すると、以下のようになります。

$2c + a = -3$

$ac = 1$

$2d + b = 11$

$ad + bc = -7$

$bd = 12$

$ac = 1$ より、$a = 1, c = 1$または、$a = -1, c = -1$

$2c + a = -3$ より、$2c + a = -3$、$2*1+1 = 3 \ne -3$、$2*(-1)+(-1) = -3$

したがって、$a=-1, c=-1$.

これにより、$2d+b = 11$、$ad + bc = -d-b = -7$、$bd = 12$.

$d+b = 7$、$b = 7-d$

$b d = (7-d)d = 12$、$7d - d^2 = 12$、$d^2 - 7d + 12 = 0$。

$(d-3)(d-4) = 0$、したがって、$d = 3$または、$d = 4$.

$d=3$の場合、$b=4$.

$d=4$の場合、$b=3$.

$2d+b = 11$.

$d=3$の時、$2(3) + 4 = 10 \ne 11$.

$d=4$の時、$2(4) + 3 = 11$.

したがって、$d=4, b=3$.

$(2x - y + 3)(x - y + 4) = 2x^2 -2xy + 8x -xy + y^2 - 4y + 3x - 3y + 12 = 2x^2 - 3xy + y^2 + 11x - 7y + 12$

3. 最終的な答え

$(2x - y + 3)(x - y + 4)$