2階線形微分方程式の特性方程式を求め、特性方程式の解から得られる特殊解を用いて一般解を示す問題です。具体的には、関数 $x(t) = e^{\lambda t}$ を微分方程式に代入して特性方程式を導出し、その解 $\lambda$ を求める。そして、得られた二つの特殊解 $x_1(t)$ と $x_2(t)$ の線形結合として一般解 $x(t) = A x_1(t) + B x_2(t)$ を示す。

1. 問題の内容

2階線形微分方程式の特性方程式を求め、特性方程式の解から得られる特殊解を用いて一般解を示す問題です。具体的には、関数 $x(t) = e^{\lambda t}$ を微分方程式に代入して特性方程式を導出し、その解 $\lambda$ を求める。そして、得られた二つの特殊解 $x_1(t)$ と $x_2(t)$ の線形結合として一般解 $x(t) = A x_1(t) + B x_2(t)$ を示す。

2. 解き方の手順

(2-1) 特性方程式を作る:

* $x(t) = e^{\lambda t}$ を2階線形微分方程式に代入する。

画像に書かれた式を参考にして,

$\frac{d^2}{dt^2} x(t) = \lambda^2 e^{\lambda t}$ である。

* これを微分方程式に代入すると、特性方程式が得られる。

与えられた情報から、元の微分方程式は $\frac{d^2}{dt^2} x(t) + \omega^2 x(t) = 0$ であると考えられる。したがって、

$\lambda^2 e^{\lambda t} + \omega^2 e^{\lambda t} = 0$

$e^{\lambda t} (\lambda^2 + \omega^2) = 0$

$e^{\lambda t}$ は常にゼロではないので、特性方程式は次のようになる。

$\lambda^2 + \omega^2 = 0$

(2-2) 二つの「特殊解」を得る:

* 特性方程式の解 $\lambda$ を求める。

特性方程式 $\lambda^2 + \omega^2 = 0$ を解くと、

$\lambda^2 = -\omega^2$

$\lambda = \pm i \omega$

* 得られた $\lambda$ を用いて、二つの特殊解 $x_1(t)$ と $x_2(t)$ を求める。

$\lambda_1 = i \omega$ のとき、$x_1(t) = e^{i \omega t}$

$\lambda_2 = -i \omega$ のとき、$x_2(t) = e^{-i \omega t}$

(2-3) 二つの一次独立な特殊解の線形結合から「一般解」を得る:

* $x_1(t)$ と $x_2(t)$ が一次独立であることを確認する。（片方が片方の定数倍ではない）

$e^{i\omega t}$と$e^{-i\omega t}$は定数倍の関係にはないので、一次独立である。

* 一般解は、二つの特殊解の線形結合で表される。

$x(t) = A x_1(t) + B x_2(t)$

$x(t) = A e^{i \omega t} + B e^{-i \omega t}$

ここで、$A$ と $B$ は任意定数である。

3. 最終的な答え

特性方程式： $\lambda^2 + \omega^2 = 0$

特殊解： $x_1(t) = e^{i \omega t}$, $x_2(t) = e^{-i \omega t}$

一般解： $x(t) = A e^{i \omega t} + B e^{-i \omega t}$