関数 $f(x) = x$ について、$x$軸と区間 $[-2, 2]$ で囲まれた部分の面積を求める問題です。単純に積分すると、$x$軸の下側にある部分の面積がマイナスで計算されてしまうため、積分を正しく行う方法について考察します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x$ について、$x$軸と区間 $[-2, 2]$ で囲まれた部分の面積を求める問題です。単純に積分すると、$x$軸の下側にある部分の面積がマイナスで計算されてしまうため、積分を正しく行う方法について考察します。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x) = x$ のグラフを確認します。これは原点を通る傾き1の直線です。

(2) 区間 $[-2, 2]$ において、$x$軸の下側にある区間は $[-2, 0]$ であり、上側にある区間は $[0, 2]$ であることが分かります。

(3) 積分は、関数とx軸で囲まれた領域の符号付き面積を与えるものです。$f(x)$ が負の値を取る区間では、積分の値は負になります。面積を求めるためには、負の領域の積分を正にする必要があります。

(4) 区間 $[-2, 0]$ での積分は

$\int_{-2}^{0} f(x) dx = \int_{-2}^{0} x dx = [\frac{1}{2}x^2]_{-2}^{0} = \frac{1}{2}(0^2 - (-2)^2) = -2$

となります。

(5) 区間 $[0, 2]$ での積分は

$\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{2} x dx = [\frac{1}{2}x^2]_{0}^{2} = \frac{1}{2}(2^2 - 0^2) = 2$

となります。

(6) 区間 $[-2, 2]$ での積分は

$\int_{-2}^{2} f(x) dx = \int_{-2}^{2} x dx = [\frac{1}{2}x^2]_{-2}^{2} = \frac{1}{2}(2^2 - (-2)^2) = 0$

となります。

(7) 求める面積は、区間 $[-2, 0]$ での積分を絶対値にして足し合わせます。つまり、

$\int_{-2}^{0} |f(x)| dx + \int_{0}^{2} f(x) dx = |-2| + 2 = 4$

となります。

または、

$-\int_{-2}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{2} f(x) dx = -(-2) + 2 = 4$

となります。

したがって、

$\int_{-2}^{2} |f(x)| dx = 4$

3. 最終的な答え

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