与えられた微分方程式とその解法に関する説明文と、いくつかの質問に答える問題です。具体的には、特性方程式を求め、特殊解を求め、一般解を求め、オイラーの公式を用いて三角関数で一般解を表し、初期条件を満たす解を求め、おもりの運動を説明するという問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式とその解法に関する説明文と、いくつかの質問に答える問題です。具体的には、特性方程式を求め、特殊解を求め、一般解を求め、オイラーの公式を用いて三角関数で一般解を表し、初期条件を満たす解を求め、おもりの運動を説明するという問題です。

2. 解き方の手順

(2-1) 特性方程式を作る:

微分方程式を満たす関数を $x(t) = e^{\lambda t}$ と仮定します。これを微分方程式に代入し、$\lambda$ についての方程式を求めます。

$x'(t) = \lambda e^{\lambda t}$

$x''(t) = \lambda^2 e^{\lambda t}$

微分方程式が $x''(t) + \omega^2 x(t) = 0$ と仮定すると、

$\lambda^2 e^{\lambda t} + \omega^2 e^{\lambda t} = 0$

$e^{\lambda t} (\lambda^2 + \omega^2) = 0$

$e^{\lambda t}$ は常にゼロではないので、

$\lambda^2 + \omega^2 = 0$

これが特性方程式です。

(2-2) 二つの「特殊解」を得る:

特性方程式 $\lambda^2 + \omega^2 = 0$ を解きます。

$\lambda^2 = -\omega^2$

$\lambda = \pm i\omega$

したがって、二つの特殊解は $x_1(t) = e^{i\omega t}$ と $x_2(t) = e^{-i\omega t}$ です。

(2-3) 二つの一次独立な特殊解の線形結合から「一般解」を得る:

一般解は、二つの特殊解の線形結合として表されます。

$x(t) = A e^{i\omega t} + B e^{-i\omega t}$

ここで、$A$ と $B$ は任意定数です。

(3) オイラーの公式を用いて一般解を三角関数で表す:

オイラーの公式は $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ です。

$x(t) = A (\cos(\omega t) + i \sin(\omega t)) + B (\cos(-\omega t) + i \sin(-\omega t))$

$x(t) = A (\cos(\omega t) + i \sin(\omega t)) + B (\cos(\omega t) - i \sin(\omega t))$

$x(t) = (A+B) \cos(\omega t) + i(A-B) \sin(\omega t)$

(4) 初期条件を満たす解を求める:

初期条件は $x(0) = D$ と $x'(0) = 0$ です。

$x(0) = (A+B) \cos(0) + i(A-B) \sin(0) = A+B = D$

$x'(t) = -\omega(A+B) \sin(\omega t) + i\omega(A-B) \cos(\omega t)$

$x'(0) = -\omega(A+B) \sin(0) + i\omega(A-B) \cos(0) = i\omega(A-B) = 0$

$A-B = 0$ より $A=B$

$A+B = D$ より $2A = D$, よって $A = B = \frac{D}{2}$

したがって、初期条件を満たす解は次のようになります。

$x(t) = (\frac{D}{2} + \frac{D}{2}) \cos(\omega t) + i(\frac{D}{2} - \frac{D}{2}) \sin(\omega t) = D \cos(\omega t)$

おもりの運動は、振幅 $D$ で角振動数 $\omega$ の単振動です。

3. 最終的な答え

(2-1) 特性方程式: $\lambda^2 + \omega^2 = 0$

(2-2) 特殊解: $x_1(t) = e^{i\omega t}, x_2(t) = e^{-i\omega t}$

(2-3) 一般解: $x(t) = A e^{i\omega t} + B e^{-i\omega t}$

(3) 三角関数で表した一般解: $x(t) = (A+B) \cos(\omega t) + i(A-B) \sin(\omega t)$

(4) 初期条件を満たす解: $x(t) = D \cos(\omega t)$

おもりの運動: 振幅 $D$ で角振動数 $\omega$ の単振動