問題43：実数 $x$ に対して、数列 $\{a_n\}$ が $a_n = \left(\frac{5x+1}{x^2+5}\right)^n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義される。$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ となるような $x$ の範囲を求めよ。 問題44：$n$ を自然数とする。 (1) $a>0$, $n\geq 3$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。 $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ (2) $r>1$ のとき、極限値 $\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{r^n}$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題43：実数 $x$ に対して、数列 $\{a_n\}$ が $a_n = \left(\frac{5x+1}{x^2+5}\right)^n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義される。$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ となるような $x$ の範囲を求めよ。

問題44：$n$ を自然数とする。

(1) $a>0$, $n\geq 3$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。

$(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$

(2) $r>1$ のとき、極限値 $\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{r^n}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

問題43：

$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ となるための必要十分条件は、$\left|\frac{5x+1}{x^2+5}\right| < 1$ である。

これを解く。

$-\infty < \frac{5x+1}{x^2+5} < 1$

まず、$\frac{5x+1}{x^2+5} < 1$ について考える。

$\frac{5x+1}{x^2+5} - 1 < 0$

$\frac{5x+1 - (x^2+5)}{x^2+5} < 0$

$\frac{-x^2 + 5x - 4}{x^2+5} < 0$

$\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2+5} > 0$

$\frac{(x-1)(x-4)}{x^2+5} > 0$

$x^2+5 > 0$ なので、$(x-1)(x-4) > 0$

よって、$x<1$ または $x>4$

次に、$\frac{5x+1}{x^2+5} > -1$ について考える。

$\frac{5x+1}{x^2+5} + 1 > 0$

$\frac{5x+1 + (x^2+5)}{x^2+5} > 0$

$\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2+5} > 0$

$\frac{(x+2)(x+3)}{x^2+5} > 0$

$x^2+5 > 0$ なので、$(x+2)(x+3) > 0$

よって、$x<-3$ または $x>-2$

これらを合わせると、$x<-3$ または $-2<x<1$ または $x>4$

問題44：

(1) 数学的帰納法を用いる。

$n=3$ のとき、$(1+a)^3 = 1 + 3a + 3a^2 + a^3$

$\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3 = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot a^3 = a^3$

$1 + 3a + 3a^2 + a^3 > a^3$ となるので、$n=3$ のとき不等式は成り立つ。

$n=k$ のとき、$(1+a)^k > \frac{1}{6}k(k-1)(k-2)a^3$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、

$(1+a)^{k+1} = (1+a)^k (1+a) > \frac{1}{6}k(k-1)(k-2)a^3 (1+a)$

示すべきは、$(1+a)^{k+1} > \frac{1}{6}(k+1)k(k-1)a^3$

$\frac{1}{6}k(k-1)(k-2)a^3 (1+a) - \frac{1}{6}(k+1)k(k-1)a^3 > 0$

$\frac{1}{6}k(k-1)a^3 [(k-2)(1+a) - (k+1)] > 0$

$\frac{1}{6}k(k-1)a^3 [k-2 + (k-2)a - k - 1] > 0$

$\frac{1}{6}k(k-1)a^3 [(k-2)a - 3] > 0$

$k\ge 3$ より、$(k-2)a > 0$

ここで $(k-2)a > 3$ が成り立てば証明できるが、条件が足りない。

二項定理より、

$(1+a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k = 1 + na + \frac{n(n-1)}{2} a^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} a^3 + \dots + a^n$

$(1+a)^n > \frac{n(n-1)(n-2)}{6} a^3$

(2) $r>1$ のとき、$\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{r^n}$ を求める。

ロピタルの定理を2回適用する。

$\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{r^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{r^n \ln r} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{r^n (\ln r)^2} = 0$

3. 最終的な答え

問題43：$x<-3$ または $-2<x<1$ または $x>4$

問題44：

(1) 上記参照

(2) 0