与えられた関数 $x(t)$ に対して、その一階微分 $\frac{dx}{dt}$ と二階微分 $\frac{d^2x}{dt^2}$ を計算する問題です。ここで、$a, b, c, d$ は全て定数です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $x(t)$ に対して、その一階微分 $\frac{dx}{dt}$ と二階微分 $\frac{d^2x}{dt^2}$ を計算する問題です。ここで、$a, b, c, d$ は全て定数です。

2. 解き方の手順

(1) $x = at^2 + bt + c + \frac{d}{t}$

まず、一階微分を求めます。

$\frac{dx}{dt} = 2at + b - \frac{d}{t^2}$

次に、二階微分を求めます。

$\frac{d^2x}{dt^2} = 2a + \frac{2d}{t^3}$

(2) $x = a\sin(bt + c) + d\cos(bt + c)$

一階微分を求めます。

$\frac{dx}{dt} = ab\cos(bt + c) - bd\sin(bt + c)$

二階微分を求めます。

$\frac{d^2x}{dt^2} = -ab^2\sin(bt + c) - b^2d\cos(bt + c) = -b^2(a\sin(bt + c) + d\cos(bt + c)) = -b^2x$

(3) $x = ae^{bt+c} + ce^{-(bt+c)}$

ただし、画像の表記から $x = ae^{bt} + ce^{-bt}$と判断して以下計算を行う。

一階微分を求めます。

$\frac{dx}{dt} = abe^{bt} - bce^{-bt}$

二階微分を求めます。

$\frac{d^2x}{dt^2} = ab^2e^{bt} + cb^2e^{-bt} = b^2(ae^{bt} + ce^{-bt}) = b^2x$

(4) $x = a\log(bt + c)$

一階微分を求めます。

$\frac{dx}{dt} = a\frac{b}{bt + c} = \frac{ab}{bt + c}$

二階微分を求めます。

$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{ab^2}{(bt + c)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dx}{dt} = 2at + b - \frac{d}{t^2}$, $\frac{d^2x}{dt^2} = 2a + \frac{2d}{t^3}$

(2) $\frac{dx}{dt} = ab\cos(bt + c) - bd\sin(bt + c)$, $\frac{d^2x}{dt^2} = -b^2x$

(3) $\frac{dx}{dt} = abe^{bt} - bce^{-bt}$, $\frac{d^2x}{dt^2} = b^2x$

(4) $\frac{dx}{dt} = \frac{ab}{bt + c}$, $\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{ab^2}{(bt + c)^2}$