実数 $x$ に対して、無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} e^{nx(x-2)}$ を考える。 (1) この無限等比級数が収束するような $x$ の条件を求める。 (2) この無限等比級数が収束し、その和が $\frac{1}{e-1}$ に等しくなるような $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} e^{nx(x-2)}$ を考える。

(1) この無限等比級数が収束するような $x$ の条件を求める。

(2) この無限等比級数が収束し、その和が $\frac{1}{e-1}$ に等しくなるような $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ が収束するための条件は、$|r| < 1$ である。

この問題の場合、初項は $e^{x(x-2)}$、公比は $e^{x(x-2)}$ である。

したがって、収束条件は $|e^{x(x-2)}| < 1$ である。

$e^{x(x-2)} > 0$ であるから、これは $e^{x(x-2)} < 1$ と同値である。

両辺の自然対数をとると、$x(x-2) < 0$ となる。

したがって、$0 < x < 2$ である。

(2) 無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ が収束するとき、その和は $\frac{a}{1-r}$ である。

この問題の場合、初項は $e^{x(x-2)}$、公比は $e^{x(x-2)}$ であり、和は $\frac{e^{x(x-2)}}{1 - e^{x(x-2)}}$ である。

したがって、$\frac{e^{x(x-2)}}{1 - e^{x(x-2)}} = \frac{1}{e-1}$ が成り立つ。

両辺の逆数をとると、

$\frac{1 - e^{x(x-2)}}{e^{x(x-2)}} = e - 1$

$\frac{1}{e^{x(x-2)}} - 1 = e - 1$

$\frac{1}{e^{x(x-2)}} = e$

$e^{-x(x-2)} = e^1$

したがって、$-x(x-2) = 1$ が成り立つ。

$-x^2 + 2x = 1$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

$x=1$ は $0<x<2$ を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $0 < x < 2$

(2) $x = 1$