以下の3つの不定積分を計算する問題です。ここで、$a, b, c, d$ は定数です。 (1) $\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t}) dt$ (2) $\int (a \sin(bt + c) + d \cos(bt + c)) dt$ (3) $\int (a e^{bt} + c e^{-bt}) dt$

1. 問題の内容

以下の3つの不定積分を計算する問題です。ここで、$a, b, c, d$ は定数です。

(1) $\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t}) dt$

(2) $\int (a \sin(bt + c) + d \cos(bt + c)) dt$

(3) $\int (a e^{bt} + c e^{-bt}) dt$

2. 解き方の手順

(1) 各項を個別に積分します。

$$\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t}) dt = \int at^2 dt + \int bt dt + \int c dt + \int \frac{d}{t} dt$$

$$= a \int t^2 dt + b \int t dt + c \int dt + d \int \frac{1}{t} dt$$

$$= a \frac{t^3}{3} + b \frac{t^2}{2} + ct + d \ln|t| + C$$

(2) 各項を個別に積分します。

$$\int (a \sin(bt + c) + d \cos(bt + c)) dt = a \int \sin(bt + c) dt + d \int \cos(bt + c) dt$$

$\int \sin(bt+c) dt = -\frac{1}{b}\cos(bt+c) + C$

$\int \cos(bt+c) dt = \frac{1}{b}\sin(bt+c) + C$

したがって、

$$= a (-\frac{1}{b}\cos(bt + c)) + d (\frac{1}{b}\sin(bt + c)) + C$$

$$= -\frac{a}{b} \cos(bt + c) + \frac{d}{b} \sin(bt + c) + C$$

(3) 各項を個別に積分します。

$$\int (a e^{bt} + c e^{-bt}) dt = a \int e^{bt} dt + c \int e^{-bt} dt$$

$\int e^{bt} dt = \frac{1}{b}e^{bt} + C$

$\int e^{-bt} dt = -\frac{1}{b}e^{-bt} + C$

したがって、

$$= a (\frac{1}{b} e^{bt}) + c (-\frac{1}{b} e^{-bt}) + C$$

$$= \frac{a}{b} e^{bt} - \frac{c}{b} e^{-bt} + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a}{3}t^3 + \frac{b}{2}t^2 + ct + d \ln|t| + C$

(2) $-\frac{a}{b} \cos(bt + c) + \frac{d}{b} \sin(bt + c) + C$

(3) $\frac{a}{b} e^{bt} - \frac{c}{b} e^{-bt} + C$