長方形ABCDにおいて、AB=3cm, AD=6cmである。頂点Bが対角線BD上にくるように折り、その点をE、折り目を線分FGとする。点Aが移る点をHとし、ADとEHの交点をIとする。IGがBCに垂直であるとき、線分IFの長さを求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB=3cm, AD=6cmである。頂点Bが対角線BD上にくるように折り、その点をE、折り目を線分FGとする。点Aが移る点をHとし、ADとEHの交点をIとする。IGがBCに垂直であるとき、線分IFの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、折り返しの性質から、三角形ABFと三角形HBFは合同である。したがって、AF = HF、∠AFB = ∠HFBである。また、FGはBEの垂直二等分線である。

長方形ABCDにおいて、∠ABC = 90°なので、IGがBCに垂直であることから、IGはABに平行である。したがって、IGは長方形AHIDの一辺である。また、AH = AB = 3cmである。したがって、HD = AD - AH = 6 - 3 = 3cmとなる。

ここで、三角形EIDに着目する。∠EID = 90°であり、∠EDI = ∠EBIである。また、∠EBI = ∠DBAである。三角形ABDにおいて、$tan∠DBA = \frac{AD}{AB} = \frac{6}{3} = 2$である。

また、∠HIA = 90°なので、∠HIE = 90° - ∠EIDとなる。三角形AFIにおいて、∠FAI = 90°、AF = HFなので、三角形AFIと三角形HFIは合同である。したがって、AI = HIである。

次に、HF = xとおくと、AF = xである。したがって、DF = AD - AF = 6 - xである。また、DI = AD - AI = 6 - AIである。ここで、三角形HFIにおいて、∠HIF = 90°なので、$HF^2 = HI^2 + FI^2$である。

ここで、AI = HI、HD = 3なので、$tan∠EDI = tan∠DBA = 2 = \frac{EI}{DI}$となる。

したがって、EI = 2 * DIである。また、AE = AB = 3なので、DE = AD - AE = 6 - 3 = 3である。

三角形EIDにおいて、$DE^2 = DI^2 + EI^2$なので、$3^2 = DI^2 + (2DI)^2$となる。

$9 = 5DI^2$

$DI^2 = \frac{9}{5}$

$DI = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

AI = AD - DI = $6 - \frac{3\sqrt{5}}{5}$

AI = HI = $6 - \frac{3\sqrt{5}}{5}$

HF = AF = $6 - AI = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

FI = xとおくと、$x^2 + HI^2 = HF^2$

$FI^2 = (\frac{3\sqrt{5}}{5})^2 - (6 - \frac{3\sqrt{5}}{5})^2$

ここで、∠AFB = ∠HFB = θとおくと、$tan(θ) = \frac{AB}{AF} = \frac{3}{AF}$となる。また、IG⊥BCなので、IG∥ABである。したがって、四角形ABGIは長方形である。よって、AI = BGである。

AB = HG = 3

AF = x = IF + AI

IF = AF - AI = AF - BG = $6 - DI - (6-AF) = AF - DI$

$IF = \frac{3\sqrt{5}}{5} - \frac{3\sqrt{5}}{5}$

これは0になるため、解答は異なるはず。

tan ∠ABD = 2から、∠ABD = arctan2である.

線分IFの長さをyとおく.

AF = HF = 3 + y である。HD = 6 - (3+y) = 3-y

IはAD上にあるから、DI = x とおく

IE = 2x (相似な三角形）

DE = 3 = sqrt(5)*x から x = 3/sqrt(5)

AI = 6 - 3/sqrt(5)

IG = 3 = BG + HI

HI = AF - AI = 3+y - 6 + 3/sqrt(5)

3 = (3+y - 6 + 3/sqrt(5) ) + 3 + y

2y = 3 - 3/sqrt(5)

y = 3/2 - (3/2)/sqrt(5) = (3/2) *( 1 - 1/sqrt(5) )

y = 3/2 * (5- sqrt(5))/5 = 3( 5-sqrt(5) )/ 10

3. 最終的な答え

線分IFの長さは $\frac{3(5-\sqrt{5})}{10}$ cm