$0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -4$ のとき、$\cos \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -4$ のとき、$\cos \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ の公式を利用します。

$\tan \theta = -4$ を代入すると、

$1 + (-4)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + 16 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$17 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{17}$

したがって、$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{17}}$ となります。

ここで、$0^\circ < \theta < 180^\circ$ かつ $\tan \theta = -4 < 0$ であることから、$\theta$ は第2象限の角であることがわかります。

第2象限では $\cos \theta < 0$ であるので、$\cos \theta = - \frac{1}{\sqrt{17}}$ となります。

分母を有理化すると、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{17}}{17}$ です。

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{17}}{17}$