$\theta$が鋭角で、$\cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$が鋭角で、$\cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係を利用して、$\sin \theta$ を求めます。$\theta$が鋭角なので、$\sin \theta > 0$ となります。

$\cos \theta = \frac{2}{3}$を代入して、

$\sin^2 \theta + (\frac{2}{3})^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{4}{9} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{4}{9}$

$\sin^2 \theta = \frac{5}{9}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{5}{9}}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の関係を利用して、$\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$