正方形ABCDがあり、辺CD上に点Eがある。頂点Aから線分BEに下ろした垂線とBEとの交点をF、頂点Cから線分BEに下ろした垂線とBEとの交点をGとする。このとき、$\triangle ABF \equiv \triangle BCG$であることを証明する。

1. 問題の内容

正方形ABCDがあり、辺CD上に点Eがある。頂点Aから線分BEに下ろした垂線とBEとの交点をF、頂点Cから線分BEに下ろした垂線とBEとの交点をGとする。このとき、$\triangle ABF \equiv \triangle BCG$であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABF$と$\triangle BCG$において、正方形の性質から$AB=BC$が成り立つことを示す。

次に、$\angle AFB = \angle CGB = 90^\circ$を示す。

$\angle ABF$と$\angle BCG$の関係を明らかにするために、$\angle ABF = 90^\circ - \angle CBG = \angle BCG$を示す。

以上の3点から、$\triangle ABF$と$\triangle BCG$が合同であることを示す。

（証明）

$\triangle ABF$と$\triangle BCG$において

正方形ABCDより、

$AB = BC$　　　　…①

$AF \perp BE$、 $CG \perp BE$より、

$\angle AFB = \angle CGB = 90^\circ$　…②

$\angle ABC = 90^\circ$より、

$\angle ABF + \angle CBG = 90^\circ$

$\angle BCG + \angle CBG = 90^\circ$

よって、

$\angle ABF = 90^\circ - \angle CBG$

$\angle BCG = 90^\circ - \angle CBG$

したがって、

$\angle ABF = \angle BCG$　…③

①、②、③より、

直角三角形において、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、

$\triangle ABF \equiv \triangle BCG$

3. 最終的な答え

$\triangle ABF \equiv \triangle BCG$