$\theta$ が鋭角で、$\tan \theta = 2$ のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ が鋭角で、$\tan \theta = 2$ のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = 2$ より、$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2$ である。

$\sin \theta = 2 \cos \theta$

三角関数の相互関係 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いる。

$(2 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$4 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$5 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ である。

よって、$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin \theta = 2 \cos \theta = 2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$