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与えられた数列の和を求めよ。 $\sum_{i=0}^{k} 3^i$

代数学数列等比数列シグマ級数
2025/6/24

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求めよ。
∑i=0k3i\sum_{i=0}^{k} 3^i

2. 解き方の手順

この問題は、初項が 11、公比が 33 の等比数列の和を求める問題です。等比数列の和の公式を使用します。
等比数列の和の公式は以下の通りです。
Sn=a(rn−1)r−1S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}
ここで、SnS_n は初項から第 nn 項までの和、aa は初項、rr は公比、nn は項数です。
この問題では、a=1a = 1、r=3r = 3、n=k+1n = k+1 です。したがって、
Sk+1=1⋅(3k+1−1)3−1S_{k+1} = \frac{1 \cdot (3^{k+1} - 1)}{3 - 1}
Sk+1=3k+1−12S_{k+1} = \frac{3^{k+1} - 1}{2}

3. 最終的な答え

3k+1−12\frac{3^{k+1} - 1}{2}

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