与えられた9つの行列の行列式を求める問題です。ただし、θ, φは実数です。

1. 問題の内容

与えられた9つの行列の行列式を求める問題です。ただし、θ, φは実数です。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の行列式は、対角成分の積から反対角成分の積を引くことで求められます。

行列式 = $8 * 3 - (-7) * (-5) = 24 - 35$

(2) 3x3行列の行列式は、余因子展開を用いて求められます。第一行で展開します。

行列式 = $\sin\theta(\sin\theta\sin\phi\sin\phi - (-\cos\phi)\cos\phi\cos\phi) - (-\cos\theta)(\cos\theta\sin\phi\sin\phi - (-\cos\phi)\cos\theta\cos\phi) + 0$

= $\sin\theta(\sin\theta\sin^2\phi + \cos^2\phi\cos\phi) + \cos\theta(\cos\theta\sin^2\phi + \cos\phi\cos\theta\cos\phi)$

= $\sin^2\theta\sin^2\phi + \sin\theta\cos^2\phi\cos\phi + \cos^2\theta\sin^2\phi + \cos^2\phi\cos\theta\cos\phi$

= $(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\sin^2\phi + (\sin\theta+\cos\theta)\cos^2\phi\cos\phi$

= $\sin^2\phi + (\sin\theta+\cos\theta)\cos^3\phi$

(3) 3x3行列の行列式を求めます。

行列式 = $5*(9*5 - 6*7) - 1*(0*5 - 6*0) + 0*(0*7 - 9*0)$

= $5*(45 - 42) - 1*(0) + 0*(0)$

= $5*3 = 15$

(4) 3x3行列の行列式を求めます。

行列式 = $1*(5*(-9) - 6*8) - 2*(4*(-9) - 6*7) + 3*(4*8 - 5*7)$

= $1*(-45 - 48) - 2*(-36 - 42) + 3*(32 - 35)$

= $-93 - 2*(-78) + 3*(-3)$

= $-93 + 156 - 9$

= $54$

(5) 4x4行列の行列式を求めます。第2行に注目すると1つの要素しか0でないため、第二行で余因子展開します。

行列式 = $(-1)^{2+3}*1*|1 2 3; 4 5 6; 7 8 -9| = -|1 2 3; 4 5 6; 7 8 -9|$

= -54 (4より)

(6) 3x3行列の行列式を求めます。

行列式 = $123(345 * 567 - 456 * 456) - 234(234 * 567 - 456 * 345) + 345(234 * 456 - 345 * 345)$

これは等差数列なので、行列式は0になる。

(7) 4x4行列の行列式を求めます。

1行目を-1で割ると、(-1)^3倍になる。

1行目を全ての行に足すと、

|-1 -1 -1 -1|

|0 -2 -2 -2|

|0 0 -2 -2|

|0 0 0 -2|

対角成分の積より、-8

したがって、-8 * (-1)^3 = 8

(8) 4x4行列の行列式を求めます。

行列式 = 0

(9) 5x5行列の行列式を求めます。

行列式 = -4

3. 最終的な答え

(1) -11

(2) $\sin^2\phi + (\sin\theta+\cos\theta)\cos^3\phi$

(3) 15

(4) 54

(5) -54

(6) 0

(7) 8

(8) 0

(9) -4