2次関数 $y = 2x^2 + 4x + a$ を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、その結果と、$y = 2x^2 + 4x + a$ $(-3 \le x \le 0)$ の最大値が7であるという条件から、$a$の値を求める。まずは、$y = 2x^2 + 4x + a$ を平方完成する。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 4x + a$ を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、その結果と、$y = 2x^2 + 4x + a$ $(-3 \le x \le 0)$ の最大値が7であるという条件から、$a$の値を求める。まずは、$y = 2x^2 + 4x + a$ を平方完成する。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2x^2 + 4x + a$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 + 2x) + a$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + a$

$y = 2((x+1)^2 - 1) + a$

$y = 2(x+1)^2 - 2 + a$

したがって、$y = 2(x+1)^2 + a - 2$ となる。

次に、$-3 \le x \le 0$ における $y = 2(x+1)^2 + a - 2$ の最大値を考える。

$x = -1$ で最小値 $a - 2$ をとる。

軸 $x = -1$ は $-3 \le x \le 0$ の範囲に含まれるので、頂点における値が最小値となる。

最大値は、$x = -3$ または $x = 0$ でとる。

$x = -3$ のとき、$y = 2(-3+1)^2 + a - 2 = 2(-2)^2 + a - 2 = 8 + a - 2 = a + 6$

$x = 0$ のとき、$y = 2(0+1)^2 + a - 2 = 2(1)^2 + a - 2 = 2 + a - 2 = a$

$a + 6$ と $a$ を比較すると、$a + 6 > a$ なので、最大値は $x = -3$ のときの $y = a + 6$ である。

条件より、最大値が7なので、 $a + 6 = 7$

したがって、$a = 7 - 6 = 1$

3. 最終的な答え

1. $y = 2(x+1)^2 + a - 2$

2. $a = 1$