$x^3 - x^2 + x - 6$ を有理数の範囲で因数分解する問題です。

1. 問題の内容

$x^3 - x^2 + x - 6$ を有理数の範囲で因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を利用して、与えられた3次式 $x^3 - x^2 + x - 6$ の因数を探します。定数項が -6 なので、その約数である $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ を $x$ に代入して、式が 0 になるかどうかを調べます。

$x = 1$ のとき、$1^3 - 1^2 + 1 - 6 = 1 - 1 + 1 - 6 = -5 \neq 0$

$x = -1$ のとき、 $(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) - 6 = -1 - 1 - 1 - 6 = -9 \neq 0$

$x = 2$ のとき、$2^3 - 2^2 + 2 - 6 = 8 - 4 + 2 - 6 = 0$

したがって、$x = 2$ は与えられた式 $x^3 - x^2 + x - 6$ の解であり、$(x - 2)$ は因数であることがわかります。

次に、$x^3 - x^2 + x - 6$ を $(x - 2)$ で割ります。筆算または組み立て除法を用いると、

$x^3 - x^2 + x - 6 = (x - 2)(x^2 + x + 3)$

ここで、$x^2 + x + 3$ が有理数の範囲でさらに因数分解できるか調べます。判別式 $D$ を計算すると、

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$

判別式が負であるため、$x^2 + x + 3$ は実数の範囲で因数分解できません。したがって有理数の範囲でも因数分解できません。

3. 最終的な答え

$(x-2)(x^2+x+3)$