与えられた3つの式について、二重根号を外して式を簡単にする。 (1) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} + \sqrt{16 + 6\sqrt{7}}$ (3) $\sqrt{4 + \sqrt{15}} + \sqrt{4 - \sqrt{15}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式について、二重根号を外して式を簡単にする。

(1) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} + \sqrt{16 + 6\sqrt{7}}$

(3) $\sqrt{4 + \sqrt{15}} + \sqrt{4 - \sqrt{15}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ の場合

まず、$4 + 2\sqrt{3}$ を $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ の形に変形することを考える。

$a^2 + b^2 = 4$ かつ $ab = \sqrt{3}$ となる $a, b$ を探す。

$a = \sqrt{3}, b = 1$ とすると、 $(\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$ となり、条件を満たす。

よって、 $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1$

(2) $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} + \sqrt{16 + 6\sqrt{7}}$ の場合

まず、$\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = \sqrt{16 - 2\sqrt{63}}$ を変形する。

$a^2 + b^2 = 16$ かつ $ab = \sqrt{63}$ となる $a, b$ を探す。

$63 = 9 \times 7$ なので、$a = 3\sqrt{7}, b=0$では$a^2+b^2=63$となるので不適。

$a^2 + b^2 = 16$ かつ $ab = \sqrt{63}$ となるように変形することを考える。

$\sqrt{16 - 2\sqrt{63}} = \sqrt{9} - \sqrt{7} = 3 - \sqrt{7}$

$\sqrt{16 + 6\sqrt{7}} = \sqrt{16 + 2\sqrt{63}}$ を変形する。

$\sqrt{16 + 2\sqrt{63}} = \sqrt{9} + \sqrt{7} = 3 + \sqrt{7}$

したがって、 $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} + \sqrt{16 + 6\sqrt{7}} = (3 - \sqrt{7}) + (3 + \sqrt{7}) = 6$

(3) $\sqrt{4 + \sqrt{15}} + \sqrt{4 - \sqrt{15}}$ の場合

$(\sqrt{4 + \sqrt{15}} + \sqrt{4 - \sqrt{15}})^2$ を計算する。

$(\sqrt{4 + \sqrt{15}} + \sqrt{4 - \sqrt{15}})^2 = (4 + \sqrt{15}) + 2\sqrt{(4 + \sqrt{15})(4 - \sqrt{15})} + (4 - \sqrt{15})$

$= 8 + 2\sqrt{16 - 15} = 8 + 2\sqrt{1} = 8 + 2 = 10$

したがって、 $\sqrt{4 + \sqrt{15}} + \sqrt{4 - \sqrt{15}} = \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} + 1$

(2) $6$

(3) $\sqrt{10}$