2次関数 $y = 2x^2 + 4x + a$ の $-3 \le x \le 0$ における最大値が7であるとき、$a$ の値を求め、その時の最小値 $y$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 4x + a$ の $-3 \le x \le 0$ における最大値が7であるとき、$a$ の値を求め、その時の最小値 $y$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2(x^2 + 2x) + a = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + a = 2(x+1)^2 - 2 + a$

よって、この2次関数の頂点の座標は $(-1, -2+a)$ です。

定義域 $-3 \le x \le 0$ における $y$ の最大値を考えます。軸 $x = -1$ は定義域に含まれているので、定義域の両端 $x=-3$ または $x=0$ のどちらかで最大値を取ります。

$x=-3$ のとき $y = 2(-3)^2 + 4(-3) + a = 18 - 12 + a = 6 + a$.

$x=0$ のとき $y = 2(0)^2 + 4(0) + a = a$.

もし $6+a > a$ ならば、$x=-3$ のとき最大値を取るので、$6+a=7$ より $a=1$.

もし $a > 6+a$ ならば、$x=0$ のとき最大値を取るので、$a=7$.

この問題では、$6+a > a$ が常に成り立つため、$a=1$ が確定します。

$a=1$ のとき、頂点の座標は $(-1, -2+1) = (-1, -1)$ なので、最小値は $x=-1$ のときの $y=-1$ です。

3. 最終的な答え

$a = 1$

最小値 $y = -1$