関数 $y = 2x + a$ において、$x$ の範囲が $-4 \leq x \leq b$ のとき、$y$ の値域が $-5 \leq y \leq 7$ となるような定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x + a$ において、$x$ の範囲が $-4 \leq x \leq b$ のとき、$y$ の値域が $-5 \leq y \leq 7$ となるような定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$y = 2x + a$ は $x$ の係数が正であるから、単調増加関数である。したがって、$x = -4$ のとき最小値 $y = -5$ をとり、$x = b$ のとき最大値 $y = 7$ をとる。

$x = -4$ のとき $y = -5$ であるから、

$-5 = 2(-4) + a$

$-5 = -8 + a$

$a = 3$

次に、$x = b$ のとき $y = 7$ であり、$a = 3$ であるから、

$7 = 2b + 3$

$2b = 4$

$b = 2$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 2$