次の式を計算します。 $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の式を計算します。

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

与えられた式を通分します。

$\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}$

分子を展開します。

$(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}$

$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$

分母を展開します。

$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

通分した式に展開した結果を代入します。

$\frac{(7 - 2\sqrt{10}) + (7 + 2\sqrt{10})}{3} = \frac{14}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{14}{3}$