与えられた問題は、次の式の値を求めることです。 $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の式の値を求めることです。

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ の分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{7}-\sqrt{5}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$

次に、$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$