関数 $f(x) = x^2 + 2(x - 2|x|) + 2$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $y = f(x)$ のグラフの形状を求めます。 (2) $y = f(x)$ と $y$ 軸の交点を A とし、A を通る傾き $m$ の直線を $l$ とするとき、$l$ が $y = f(x)$ と異なる 3 点で交わる $m$ の範囲、直線 $l$ と曲線 $y = f(x)$ で囲まれた面積の和 $T$ を $m$ の式で表し、$T$ を最小にする $m$ の値とそのときの $T$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 2(x - 2|x|) + 2$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $y = f(x)$ のグラフの形状を求めます。

(2) $y = f(x)$ と $y$ 軸の交点を A とし、A を通る傾き $m$ の直線を $l$ とするとき、$l$ が $y = f(x)$ と異なる 3 点で交わる $m$ の範囲、直線 $l$ と曲線 $y = f(x)$ で囲まれた面積の和 $T$ を $m$ の式で表し、$T$ を最小にする $m$ の値とそのときの $T$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = f(x)$ のグラフについて

$x \geq 0$ のとき、$|x| = x$ なので、

$f(x) = x^2 + 2(x - 2x) + 2 = x^2 - 2x + 2$.

よって、$y = x^2 - 2x + 2$ ($x \geq 0$).

これは放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ の $x \geq 0$ の部分です。

$x < 0$ のとき、$|x| = -x$ なので、

$f(x) = x^2 + 2(x - 2(-x)) + 2 = x^2 + 6x + 2$.

よって、$y = x^2 + 6x + 2$ ($x < 0$).

これは放物線 $y = x^2 + 6x + 2$ の $x < 0$ の部分です。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と $y$ 軸の交点 A について

$y$ 軸との交点は $x = 0$ のときなので、$y = f(0) = 0^2 - 2(0) + 2 = 2$.

よって、A の座標は $(0, 2)$ です。

点 A を通る傾き $m$ の直線 $l$ の式は $y = mx + 2$ です。

$x \geq 0$ のとき、$x^2 - 2x + 2 = mx + 2$ より、$x^2 - (m + 2)x = 0$.

$x(x - (m + 2)) = 0$ となるので、$x = 0, m + 2$.

$x < 0$ のとき、$x^2 + 6x + 2 = mx + 2$ より、$x^2 + (6 - m)x = 0$.

$x(x + (6 - m)) = 0$ となるので、$x = 0, m - 6$.

曲線 $y = f(x)$ と異なる 3 点で交わる条件は、$m+2 > 0$ かつ $m - 6 < 0$ です。

よって、$-2 < m < 6$.

$x \geq 0$ での交点は $(0, 2), (m + 2, m(m + 2) + 2)$.

$x < 0$ での交点は $(0, 2), (m - 6, m(m - 6) + 2)$.

$T = \int_{m-6}^0 (x^2 + (6-m)x) dx + \int_0^{m+2} (x^2 - (m+2)x) dx$

$T = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}(6-m)x^2]_{m-6}^0 + [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}(m+2)x^2]_0^{m+2}$

$T = -\frac{1}{3}(m-6)^3 - \frac{1}{2}(6-m)(m-6)^2 + \frac{1}{3}(m+2)^3 - \frac{1}{2}(m+2)(m+2)^2$

$T = -\frac{1}{3}(m-6)^3 - \frac{1}{2}(6-m)(m-6)^2 + \frac{1}{3}(m+2)^3 - \frac{1}{2}(m+2)^3$

$T = \frac{1}{6}(-(2(m-6)^3) - 3(6-m)(m-6)^2 + 2(m+2)^3 -3(m+2)^3)$

$T = \frac{1}{6}((m-6)^3 + (-)(m+2)^3) = \frac{1}{6} ( (6-m)^3 - (m+2)^3)$.

$T = \frac{1}{6} [(216 - 108m + 18m^2 - m^3) - (m^3 + 6m^2 + 12m + 8)]$.

$T = \frac{1}{6} (-2m^3 + 12m^2 - 120m + 208) = \frac{1}{3} (-m^3 + 6m^2 -60m + 104)$

面積の和の式を積分で計算すると、

$T=\int_{m-6}^{0} (mx+2 - (x^2+6x+2))dx + \int_{0}^{m+2} (mx+2 - (x^2-2x+2))dx$

$=\int_{m-6}^{0} (-x^2+(m-6)x)dx + \int_{0}^{m+2} (-x^2+(m+2)x)dx$

$=[-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}(m-6)x^2]_{m-6}^0 + [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}(m+2)x^2]_{0}^{m+2}$

$=-(-\frac{1}{3}(m-6)^3 + \frac{1}{2}(m-6)(m-6)^2) + (-\frac{1}{3}(m+2)^3 + \frac{1}{2}(m+2)(m+2)^2)$

$=\frac{1}{3}(m-6)^3 - \frac{1}{2}(m-6)^3 - \frac{1}{3}(m+2)^3 + \frac{1}{2}(m+2)^3$

$=-\frac{1}{6}(m-6)^3 + \frac{1}{6}(m+2)^3$

$=\frac{1}{6}((m+2)^3 - (m-6)^3)$

$=\frac{1}{6}(m^3+6m^2+12m+8-(m^3-18m^2+108m-216))$

$=\frac{1}{6}(24m^2-96m+224) = 4m^2-16m+\frac{112}{3}$

$T = 4m^2 - 16m + \frac{112}{3} = 4(m^2 - 4m) + \frac{112}{3} = 4(m^2 - 4m + 4) - 16 + \frac{112}{3} = 4(m - 2)^2 + \frac{112 - 48}{3} = 4(m - 2)^2 + \frac{64}{3}$.

これは $m = 2$ のとき最小値 $\frac{64}{3}$ をとる。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：2

ウ：0

エ：6

オ：2

カキ：-2

ク：6

ケ：4

コサ：16

シスセ：112

ソ：3

タ：2

チッ：64

テ：3